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Cours de Probabilités

Jean-Yves DAUXOIS

Septembre 2014

Table des matières

1 Introduction au calcul des probabilités

7

1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire

8

1.1.1 Un exemple fondamental

8

1.1.2 Tribus

8

1.1.3 Mesures et probabilités

13

1.1.4 Variables aléatoires

18

1.1.5 Loi de probabilité d"une variable aléatoire

19

1.2 Conditionnement

20

1.2.1 Probabilité conditionnelle à un événement

20

1.2.2 Formule de Bayes

21

1.3 Indépendance en probabilité

22

1.3.1 Indépendance d"événements

22

1.3.2 Indépendance de tribus

25

1.3.3 Indépendance de variables aléatoires

25

1.3.4 Lien entre les différents types d"indépendance

26

1.4 Espace probabilisé produit

27

1.5 Loi conjointe d"unn-uplet de variables aléatoires indépendantes30

2 Lois surRet lois surRn31

2.1 Variables aléatoires réelles

32

2.1.1 Fonction de répartition

32

2.1.2 Lois discrètes

35

2.1.3 Lois continues

38

2.1.4 Changement de variables

44

2.2 Vecteurs aléatoires

47

2.2.1 Fonction de répartition

47

2.2.2 Densité de probabilité

48

2.2.3 Loi conditionnelle et densité conditionnelle

50

2.2.4 Changement de variables

52

2.2.5 Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3 Extension de la notion de densité

57

2.3.1 Intégrale par rapport à une mesure

57

2.3.2 Absolue continuité d"une mesure par rapport à une

autre. Densité 66

2.3.3 Mélange de lois

68

2.3.4 Densités conjointes, marginales et conditionnelles

69

3 Moments de variables aléatoires

71

3.1 Variables aléatoires réelles intégrables et espérance mathéma-

tique 72

3.2 Moments de variables aléatoires réelles

75

3.2.1 EspaceLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

3.2.2 EspaceL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

3.3 Vecteurs aléatoires

80

3.3.1 Espérance mathématique

80

3.3.2 Covariance de deux v.a.r.

80

3.3.3 Matrice de covariance

82

3.3.4 Espérance conditionnelle

83

4 Caractérisation des lois: transformée de Laplace et fonction

caractéristique 85

4.1 Transformée de Laplace

86

4.1.1 Variables aléatoires réelles

86

4.1.2 Vecteurs aléatoires

89

4.2 Fonction caractéristique

89

4.2.1 Intégrale d"une variable aléatoire complexe

89

4.2.2 Fonction caractéristique

90

5 Vecteurs gaussiens

93

5.1 Exemple fondamental

9 4

5.2 Définition

96

5.3 Propriétés des vecteurs aléatoires gaussiens

98

5.3.1 Transformation linéaire d"un vecteur gaussien

98

5.3.2 Vecteur gaussien et indépendance

9 9

6 Convergences

101

6.1 Convergence en loi

102

6.1.1 Définition

102

6.1.2 Caractérisation de la convergence en loi

10 2

6.1.3 Approximation de lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2 Convergence en probabilité

107

6.2.1 Définition

107

6.2.2 Convergence en probabilité et convergence en loi

111

6.3 Convergence presque sûre

112

6.3.1 Définition

112

6.3.2 Critères de convergence p.s.

112

6.3.3 Convergence presque sûre et convergence en probabilité

113

6.3.4 Loi forte des grands nombres

113

6.4 Convergence dansLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

6.5 Résumé

115
Index 116

6 Chapitre 0. TABLE DES MATIÈRES

Jean-Yves Dauxois

c

Septembre 2014

1.0. 7

Chapitre 1

Introduction au calcul des

probabilitésJean-Yves Dauxois c

Septembre 2014

8 Chapitre 1. Introduction au calcul des probabilités

1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléa-

toire

1.1.1 Un exemple fondamental

Considérons le jeu du lancé d"un dé. Notons l"ensemble de tous les résultats possibles (appelés aussi épreuves ou résultats élémentaires) de cette expérience aléatoire =f1;2;3;4;5;6g: On note!= 3pour signifier que 3 est le résultat de l"épreuve. Dans cette expérience aléatoire, on peut s"intéresser à des événements plus complexes qu"un simple résultat élémentaire. On peut, par exemple, considérer l"événementA="le résultat est un nombre pair" ou l"événement B="le résultat est un nombre plus grand que 3". On noteAl"ensemble de ces

événements. Notons que l"on a toujoursA P(

), oùP( )est l"ensemble des parties de . Notons que l"inclusion précédente peut être stricte. On dit que l"événementAs"est réalisé si le résultat de l"expérience!est tel que!2A. Enfin, on peut donner à chaque événement une pondération ou encore une probabilité. Ainsi, si le dé n"est pas pipé, l"intuition nous dit que la probabilité d"avoir l"événementA="le résultat est un nombre pair" est 1/2, i.e.

P(A) =12

On peut bien sûr s"intéresser à la probabilité d"un événementC="le résultat est un nombre pair plus grand ou égal à 4". Remarquant que l"on aCA, il sera alors naturel d"avoir

P(C)P(A) =12

Nous allons maintenant donner un formalisme plus mathématique à ce triplet fondamental( ;A;P)que nous venons d"introduire.

1.1.2 Tribus

Tout phénomène aléatoire fait appel à deux ensembles de type différent.

Un ensem ble

, appelé espace fondamental ou univers, qui contient l"ensemble de tous les résultats possibles. Ces derniers sont également appelés épreuves.Jean-Yves Dauxois c

Septembre 2014

1.1. Espace probabilisable et loi de variable aléatoire 9

Une famille Ade parties (i.e. de sous ensembles) de :Ces parties sont appelées des événements. On dit que l"événementAs"est réalisé si et seulement si le résultat!de qui s"est produit appartient àA: En gardant en mémoire l"exemple fondamental, il est assez naturel de demander que l"ensembleAvérifie un certain nombre de propriétés. En effet siAetBsont des événements deA;on souhaite que les événements suivants le soient également. (i)A= nA2 A. SiAs"est ou ne s"est pas réalisé, on doit pouvoir se prononcer sur l"événement complémentaire. (ii)A[B2 AetA\B2 A. Si on peut dire queAs"est ou ne s"est pas réalisé, et de même pourB;on doit pouvoir dire siA[Bs"est ou ne s"est pas réalisé (et de même pourA\B). (iii)AnB2 A. On doit pouvoir dire siAs"est réalisé mais pasB.

Et plus généralement

(iv)

Si, p ourtout n, on aAn2 A;alors on souhaite que

nA n2 Aet\ nA n2 A: C"est pourquoi on demande àAd"être une tribu. Définition 1.1.1On dit qu"une familleAde parties de est une tribu si (i) 2 A; (ii)Aest stable par passage au complémentaire, i.e.

A2 A )A2 A;

(iii)Aest stable par réunion dénombrable, i.e. (8n:An2 A)) [ nA n2 A! Remarque.On montre facilement que ces conditions sont suffisantes pour que toutes celles précitées soient vérifiées. En effet: A\B=

A[B2 A

AnB=A\B2 A

2 AJean-Yves Dauxois

c

Septembre 2014

10 Chapitre 1. Introduction au calcul des probabilités

et siAnappartient àA, pour toutn, alors nA n= n An! 2 A:3

Exemples de tribus.

*A=f; gest une tribu et est appelée tribu grossière. On ne peut en construire de plus petite. *A=P( )est une tribu. C"est la tribu la plus fine, dans le sens où elle contient toutes les autres tribus sur

Soit Aune partie de

. L"ensemble des parties

A=f;;A;A;

g est une tribu.3

Définition 1.1.2LorsqueAest une tribu sur

;le couple( ;A)est appelé espace probabilisable (ou mesurable). Théorème 1.1.3L"image réciproque d"une tribu par une applicationfest une tribu. Preuve.Soitfune application deEversFetFune tribu surF. Notons

E=f1(F) =ff1(B);pourB2 Fg

=fAEtel quef(A)2 Fg: * l"ensembleEest bien sûr élément deEpuisqueE=f1(F): * SoitAun élément deE:Il existe donc un ensembleBdansFtel que

A=f1(B). On peut alors écrire:

A=fx2Etel quef(x)2Bg:

D"où:

A=fx2Etel quef(x)=2Bg=x2Etel quef(x)2B

=f1(B): Or Bappartient àFpuisqueFest une tribu etAest donc dansE:Jean-Yves Dauxois c

Septembre 2014

1.1. Espace probabilisable et loi de variable aléatoire 11

* Soient, pour toutn,Anun élément deE. Il existe donc pour toutn, un élémentBndeAtel queAn=f1(Bn). D"où: nA n=fx2Etel qu"il existenpour lequelx2Ang =fx2Etel qu"il existenpour lequelf(x)2Bng =fx2Etel quef(x)2 [nBng=f1([nBn); qui appartient àEpuisque[nBnappartient àF.

AinsiEest bien une tribu.2

Théorème 1.1.4Soit(

;A)un espace probabilisable et

0une partie de

L"ensemble

fA\

0:A2 Ag

est une tribu sur

0et est appelée trace de la tribuAsur

0.

Preuve.Notons

C=fC=A\

0:A2 Ag:

* On a 0=

0et donc

02 C * SoitCun élément deCet notonsCson complémentaire par rapport

0:On a:

C =A\ 02 C * Supposons maintenant que, pour toutn,Cnsoit dansC. Il existe donc pour toutn, A n2 A;tel queCn=An\ 0:

D"où:

nC n=[ n(An\

0) = [

nA n! 02 C:

Ainsi,Cest bien une tribu sur

0.2 Théorème 1.1.5SoitIune partie deNet(Ai)i2Iune famille de tribus sur le même espace fondamental :La famille de parties A=\ i2IA i est une tribu.Jean-Yves Dauxois c

Septembre 2014

12 Chapitre 1. Introduction au calcul des probabilités

Preuve.

* L"ensemble est dansAi, pour touti, il est donc un élément deA: * De plus, on a: (A2 A))(8i:A2 Ai))(8i:A2 Ai))(A2 A): * Enfin, supposons que, pour toutn, on aitAndansA. On a alors (8n;8i; An2 Ai))(8i;[ nA n2 Ai))([ nA n2 A); ce qui achève la démonstration.2 Nous attirons l"attention du lecteur sur le point suivant. Si(An)est une famille quelconque de parties d"un ensemble et si un élémentAest tel que

A2 An;

pour toutn, alors on a: A2\ nA n: En revanche, si(An)est une famille de parties d"un ensembleA(i.e.An2 A, pour toutn), on n"a pas nécessairement: nA n2 A; sauf siAest une tribu. Théorème 1.1.6SoitFune famille de parties de . Il existe une plus petite tribu sur qui contientF. On l"appelle tribu engendrée parFet on la note (F).

Preuve.CommeP(

)est une tribu contenantF, l"ensemble des tribus contenantFn"est pas vide. L"intersection de ces tribus est d"après le théo- rème précédent encore une tribu. Elle contientFet c"est forcément la plus petite tribu contenantF.2Jean-Yves Dauxois c

Septembre 2014

1.1. Espace probabilisable et loi de variable aléatoire 13

Voyons un exemple particulier de tribu.

Définition 1.1.7On appelle tribu borélienne surR, la tribu engendrée par les intervalles ouverts de la forme] 1;x[, pour toutxdansR. On la note B R. On peut montrer que l"on a le résultat suivant. Théorème 1.1.8La tribu borélienne est également engendrée par les inter- valles de la forme] 1;x];[x;+1[;]x;+1[;[x;y];]x;y[etc...

1.1.3 Mesures et probabilités

Définition 1.1.9On appelle mesure positive sur l"espace probabilisable( ;A) toute applicationdeAdansR += [0;+1] telle que d"une part l"on ait(;) = 0et que d"autre part pour toute suite (An)d"éléments deA, deux à deux disjoints, on ait: nA n! =X n2N(An):

Le triplet(

;A;)est appelé espace mesuré.

Définition 1.1.10Une mesurePsur(

;A)telle queP( ) = 1est dite une probabilité. Le triplet( ;A;P)est appelé espace probabilisé. Proposition 1.1.11Une probabilité vérifie les assertions suivantes: (i)8A2 A; P(A) = 1P(A); (ii)P(;) = 0; (iii)8(A;B)2 A2; P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B); (iv) F ormulede Poinc aré:soit A1;:::;Andes événements deA. On a: P n[ i=1A i! =nXquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26