Le réel y est appelé « partie imaginaire du nombre complexe z » et est notée : ( ) m z Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique z x iy complexe ) qui à tout nombre complexe z associe le nombre complexe ( ) ' f z d'affixe z par la transformation géométrique F La transformation F associant à un point du
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2 nov 2020 · Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le Soit M un point d'affixe z du cercle c de centre O et de rayon 1
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dire que si z et z′ sont deux nombres complexes qui sont en particulier tous On peut maintenant démontrer que tout nombre complexe non nul a un Soient a et b deux nombres complexes tels que a ≠ 0 et soit (E) l'équation az + A tout point M de coordonnées (x, y), on peut associer le nombre complexe zM = x + iy
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IV - Les différentes écritures d'un nombre complexe non nul V - Equation Pour tout nombre complexe z il existe un unique couple ( ) nulle Le réel 0 est le seul nombre complexe qui est réel et imaginaire pur (avec x et y réels) on associe le point M dont le couple de coordonnées est ( ) Soit z un nombre complexe :
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Le réel y est appelé « partie imaginaire du nombre complexe z » et est notée : ( ) m z Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique z x iy complexe ) qui à tout nombre complexe z associe le nombre complexe ( ) ' f z d'affixe z par la transformation géométrique F La transformation F associant à un point du
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Tout nombre complexe non nul z = a +ib admet un inverse noté Soit f une transformation du plan complexe qui, à tout point M d'affixe z associe le point M′ ہ tout point M du plan d'affixe z distincte de i, on associe le point M′ d'affixe z ′ =
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Soit z un nombre complexe de forme algébrique a + ib On appelle Tout nombre complexe non nul z peut-être écrit sous la forme : Reconnaître la transformation du plan qui au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' avec : z' = z - 3
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4 sept 2007 · Tout nombre complexe non nul z admet même associer à tout vecteur du plan de coordonnées (a, b) le nombre complexe a + ib, qui sera également appelé affixe du vecteur Soit z = a+ib un nombre complexe, on appelle conjugué de z, et on Par ailleurs, les transformations de la première catégorie
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tout nombre complexe un point d'un plan semble due `a Wessel (1797) mais la méthode est plus Soit P un plan affine euclidien, P son plan vectoriel associé précédente est donc inutile si l'on sait que toute application qui conserve le produit scalaire est Si M est l'image du nombre complexe z non nul alors l' angle ̂
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transformation du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel Soit a un nombre complexe non nul et différent de 1, et A son image dans le
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Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S)
Les nombres complexes
PanaMaths [1-13] Février 2011
L'ensemble des nombres complexes
Définitions
On pose i tel que
2 1i. L'ensemble des nombres complexes, noté , est l'ensemble : ^` 2 /,zxiyxy .Le réel x
est appelé " partie réelle du nombre complexe z » et est notée : ez. Le réel y est appelé " partie imaginaire du nombre complexe z» et est notée : mz.
L'écriture zxiy
est appelée " forme algébrique du nombre complexe z ». Si0ez le nombre complexe z est appelé " imaginaire pur ».
Premières propriétés
00zxiy xy ;
2Soit , ' / et ' ' 'zz z x iy z x iy
On a :
' ' et ' ' et 'z z ez ez mz mz x x y y ;00zxiy mz y
Représentation géométrique et plan complexe On rapporte le plan orienté à un repère orthonormal direct ,,OOIOJA tout complexe
zxiy on associe le point M (que l'on peut également noter Mz ouMxiy) de coordonnées ,xy : OM xOI yOJ
On dit alors que l'on travai
lle dans " le plan complexe ». Mz est appelé " image du complexe z » et le complexe z est appelé " affixe du point M ».L'axe des abscisses correspond à
l'ensemble des réels.L'axe des ordonnées correspond à
l'ensemble des imaginaires purs.Note : " affixe » est un nom féminin.
I J M OM O x y www.panamaths.netLes nombres complexes
PanaMaths [2-13] Février 2011
Premières opérations sur les nombres complexesMultiplication d'un complexe par un réel
Soit zxiy un nombre complexe et a un réel. On a : az a x iy ax iayEn d'autres termes :
eaz a ez et maz amz. Sur la figure ci-dessous nous avons positionné un point 'M d'affixe az avec 01a. Cas particulier : pour 1a, on obtient l'opposé du nombre complexe z : zxiy. Sur la figure ci-dessous, nous avons positionné le point P d'affixe z. Il s'agit du symétrique deMz par rapport à l'origine.
Somme et différence
2 ,' / et ' ' 'z z z x iy z x iy , on note respectivement 'zz et 'zz la somme et la différence des nombres complexes z et 'z et on a : '' 'zz xx iyy zz xx iyyEn d'autres termes :
''ez z ez ez et ''mz z mz mz . ''ez z ez ez et ''mz z mz mz . I J M OM O x y OM y x 'M P www.panamaths.netLes nombres complexes
PanaMaths [3-13] Février 2011
Représentation géométrique.
On désigne par M et
'M les points du plan complexe d'affixes respectives z et 'z.Le point S d'affixe 'zz
est défini par : 'OS OM OMLe point D d'affixe
'zz est défini par : ''OD OM OM M MConjugué d'un nombre complexe
Définition
Soit zxiy un nombre complexe.
On appelle " conjugué de z », noté z, le complexe : xiy.Géométriquement, le point '
M d'affixe z
est le symétrique, par rapport à l'axe des abscisses, du point M d'affixe z.Premières propriétés
zz. On dit que " les complexes z et z sont conjugués ».2zz ez est un réel et 2zz imz est un imaginaire pur.
z est un réel 0mz z z . z est un imaginaire pur 0ez z z .Soit zxiy. On a :
22zz x y I J M OM O 'xx 'yy 'M S D I J Mz OM O x y y 'Mz www.panamaths.net
Les nombres complexes
PanaMaths [4-13] Février 2011
Autres opérations sur les nombres complexes
Produit
2 ,' / et ' ' 'z z z x iy z x iy , on note 'zz le produit des nombres complexes z et 'z et on a : '''''''zz x iy x iy xx yy i xy x yRapport
,' / et ' ' 'z z z x iy z x iy , on note 'z z le rapport des nombres complexes z et 'z et on a :22 22 22
''' '' '' ''xiyxiy zzz xxyy xyxyizzz xy xy xyAutres propriétés de la conjugaison
Conjugué d'une somme :
2 ,' , ' 'zz z z z z.Conjugué d'un produit :
2 ,' , ' 'zz zz zz .Conjugué d'un rapport :
,' ,''zzzzzzModule d'un nombre complexe
Définition
Soit zxiy un nombre complexe.
On appelle " module de z », noté z, le réel positif : 22xy.
Interprétation géométrique
SiM est le point d'affixe z, z est la
distance du pointO au point M et c'est
donc aussi la norme du vecteur OM ,zdOM OM I J M OM O x y www.panamaths.netLes nombres complexes
PanaMaths [5-13] Février 2011
Propriétés
00zz ;
2 ,zzzz ; zzzz ; 2 ,' , ' 'zz zz zz ; ,' ,''z zzzzzInégalité triangulaire
2 ,' , ' 'zz z z z z On a l'égalité si, et seulement si, il existe un réel a tel que 'zaz ou 'zaz (c'est à dire si et seulement si les points O,Mz et ''Mz sont alignés).
Formes trigonométriques d'un nombre complexe
Arguments d'un nombre complexe non nul
On considère un nombre complexe z non nul
et le plan complexe. Soit M le point d'affixe z. On appelle alors " argument de z », noté argz, toute mesure de l'angle ,OI OM .L'argument d'un nombre complexe
est donc défini modulo2 : si est
une mesure donnée de l'angle ,OI OM alors les autres mesures de cette angle sont de la forme 2k k.Le nombre complexe nul n'a pas
d'argument.Premières propriétés de l'argument
arg ,zzkk ; ,arg argzzz ; ,arg argzzz . I J M OM O x y argz www.panamaths.netLes nombres complexes
PanaMaths [6-13] Février 2011
Forme trigonométrique d'un nombre complexe
Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique zxiy.On peut alors mettre z sous la forme :
cos sinzr i où rz et argz Une telle écriture est appelée " forme trigonométrique » de z.Remarques :
un nombre complexe admettant une infinité d'arguments, il admet une infinité d'écritures trigonométriques.On a : cos
xx rz et sin yy rz Si cos sinri est une forme trigonométrique du nombre complexe non nul z alors on peut écrire : cos sin ' cos ' sin 'zr i r i . Dans ce cas on a '0r et l'écriture 'cos ' sin 'ri n'est pas une forme trigonométrique du nombre complexe z.Autres propriétés de l'argument
2* ,' ,arg ' arg arg'zz zz z z ;1,arg argzzz ;
2* , ' ,arg arg arg ''zzz z zz ; ,arg arg n nznz ; Soit ,arg argzzz .Formule de Moivre
, cos sin cos sin n ni nin www.panamaths.netLes nombres complexes
PanaMaths [7-13] Février 2011
Forme exponentielle d'un nombre complexe
Exponentielle complexe (Euler)
Pour tout réel , on appelle " exponentielle complexe », notée i e , le nombre complexe : cos sini Remarque : dans cette écriture introduite par Euler, et comme le nom l'indique, e désigne la base du logarithme népérien.Euler a également fournit la très belle formule suivante, cas particulier de la précédente
1 i e