[PDF] [PDF] Statistique : étude de cas Intervalles de confiance - Université de

Les plantes marines : n

Sommaire

1Introduction

2Principe

3Intervalle de conance

4Estimation de la moyenned'une variable gaussienne5Estimation de la variance2d'une variable gaussienne6Estimation d'une proportion

Nous utilisons le fait que

2suit une loi du Khi-deux andegres de liberte comme la somme

Denition

1et k2sont les bornes de l'intervalle de probabilite pournc2n

1 2quantile d'ordre 1=2 pour la loi du Khi-deux andegres de liberte.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 30 / 50

Denition

L'intervalle de conance pour2a1est egal a :

n c2n(x1;:::;xn)k

2< 2

1Remarque

Par exemple, nous pouvons prendre la bornek1egale au quantile d'ordre =2 pour la loi du Khi-deux andegres de liberte et la bornek2egale au

quantile d'ordre 1=2 pour la loi du Khi-deux andegres de liberte.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 31 / 50

Nous utilisons le fait que

1S 2n=1n n X i=1(Xibn)2,2nS 2n

2suit une loi du Khi-deux a (n1) degres de liberte comme la

somme de (n1) carres de loiN(0;1) independantes.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 32 / 50

Denition

l

1et l2sont les bornes de l'intervalle de probabilite pournS2n

2si : P l

1 2L'intervalle de conance pour2a1est egal a :

nS

2n(x1;:::;xn)l

2< 2 1; ou l

1et l2sont les quantiles respectivement a=2et a1(=2)du loi du

Khi-deux a(n1)degres de liberte.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 33 / 50

Denition

l

1et l2sont les bornes de l'intervalle de probabilite pour(n1)S2n;c=2si :

P l

1<(n1)S2n;c

2Denition

L'intervalle de conance a1pour la variance2est egal a : (n1)S2n;c(x1;:::;xn)l

2< 2<(n1)S2n;c(x1;:::;xn)l

1; ou l

1et l2sont les quantiles denis dans la diapositive precedente.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 35 / 50

Remarque

Pour obtenir le quantilel1d'une loi du Khi-deux, sousR, vous tapez la ligne de commande suivante : >qchisq(0.025,n-1) ou la quantiten1 est remplacee par la valeur adequate. De m^eme pour l

2en remplacant 0;025 par 0;975.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 36 / 50

Exemple : Les plantes marines

Un biologiste etudie un type d'algue qui attaque les plantes marines. La toxine contenue dans cette algue est obtenue sous forme d'une solution organique. Il mesure la quantite de toxine par gramme de solution. Il a obtenu les neuf mesures suivantes, exprimees en milligrammes :

1;2;0;8;0;6;1;1;1;2;0;9;1;5;0;9;1;0:

Nous supposons que ces mesures sont les realisations de variables aleatoires independantes et identiquement distribuees suivant une loi normale d'esperanceet d'ecart-typepop.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 37 / 50

Les plantes marines : suite

Donnons une estimation ponctuelle de la moyenne de la quantite de toxine par gramme de solution : b9(obs) = 1;022222mg: Donnons une estimation ponctuelle de la variance de la quantite de toxine a l'aide de l'estimateur corrige de la varianceS29;c: S

29;c(obs) = 0;06944444mg2Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 38 / 50

Les plantes marines : suite

Determinons un intervalle de conance a 95% pour la variance2popde la quantite de toxine par gramme de solution. La moyenneet la variance

2popetant inconnues, l'intervalle de conance a 95% pour la variance2pops'obtient avec la formule suivante :

8S29;c(obs)l

2< 2pop<8S29;c(obs)l

1

0;032mg2< 2pop<0;255mg2

oul1= 2;180 est le quantile d'ordre 0;025 pour une loi du Khi-deux2(8) etl2= 17;535 est le quantile d'ordre 0;975 pour une loi du Khi-deux

2(8).Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 39 / 50

Les plantes marines : n

Les commandes sous R qui donnent les resultats ci-dessus sont les suivantes : > mean(toxine) [1] 1.022222 > var(toxine) [1] 0.06944444 > 8*var(toxine)/qchisq(0.975,8) [1] 0.03168349 > 8*var(toxine)/qchisq(0.025,8) [1] 0.2548735 Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 40 / 50

Sommaire

1Introduction

2Principe

3Intervalle de conance

4Estimation de la moyenned'une variable gaussienne5Estimation de la variance2d'une variable gaussienne6Estimation d'une proportion

Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 41 / 50 Nous souhaitons construire un intervalle de conance pour une proportion Ad'individus de la population qui possedent un certain caractereA. Pour estimerA, nous allons nous servir de l'estimateurbn;A, qui a ete deni auparavant, a partir du moment ou nous faisons l'hypothese que le tirage est aleatoire avec remise, ce qui correspond a une population innie. D'autre part, nous pouvons montrer quenbn;Asuit une loi binomiale de parametresnetA.A partir de ce resultat, nous pouvons construire un intervalle de conance pourA.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 42 / 50 Les trois methodes pour construire un intervalle de conance pour une

proportionAque nous rencontrerons le plus souvent sont :1la methode exacte ou encore appelee la methode de Clopper-Pearson

qui maintenant est realisable avec par exemple le logicielR;2la methode du score ou encore appelee la methode de Wilson ou

encore la methode de l'ellipse;3la methode asymptotique ou encore appelee la methode de Wald. Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 43 / 50 Des etudes statistiques ont montre que, parmi ces trois methodes, la methode a privilegier est la methode du score. Neanmoins, la methode de Wald reste tres utilisee et presentee dans de nombreux manuels alors qu'elle ne permet generalement pas d'obtenir des intervalles de conance de qualite convenable. Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 44 / 50 L'intervalle de conance pour la proportionAau niveau de conance (1) est egal a bn;A(obs) +12nu2

1=2u1=2v

uutbn;A(obs)(1bn;A(obs))n +u21=24n21 + 1n u2 1=2< A bn;A(obs) +12nu2

1(=2)+u1(=2)v

uutbn;A(obs)(1bn;A(obs))n +u21(=2)4n21 + 1n u2

1(=2);

ouu1(=2)est le quantile de la loi normale centree et reduite.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 45 / 50

L'intervalle de conance pour la proportionAau niveau de conance (1) est egal a bn;A(obs)u1(=2)rbn;A(obs)(1bn;A(obs))n < A ouu1=2est le quantile de la loi normale centree et reduite.Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 46 / 50

Remarques

1. I lexi step ource sd euxi ntervallesu nef ormuleave cu neco rrectiond e continuite de Yates pour tenir compte du passage d'une loi discrete a une loi continue. Donc, parfois, nous pouvons constater un leger ecart entre le calcul de cette formule si nous le realisons a la main et le calcul donne par un logiciel de statistique. Donc une recommandation que nous pouvons faire : regarder ce qui est programme dans le manuel du logiciel qui est utilise. Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 47 / 50

Remarques

2. P our etablirl' intervalled ec onancepa rla m ethoded eW ald, l'approximation de la loi binomiale par la loi normale a ete utilisee. Il faut se rappeler que pour utiliser cette approximation, certaines conditions doivent ^etre remplies. 3. En n,i lm anquel af ormulema thematiqued el 'intervallede con ance par la methode de Clopper-Pearson. Elle n'a pas ete presentee ici car le calcul est un peu plus complique que les deux autres. Neanmoins elle peut ^etre retrouvee facilement sur internet. Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 48 / 50

Exemple : La bacterie Brucella abortus

Dans le cas d'une contamination d'un grand cheptel bovin par la bacterie Brucella abortus, un veterinaire observe 53 avortements pour 134 vaches gestantes. Quelle proportion d'avortements peut-il predire dans le cheptel au seuil de conance egal a 95%? Au sujet de la bacterieBrucella abortus, nous renvoyons le lecteur au rapport de Juillet 2015 redige par l'Anses et telechargeable a l'adresse suivante : Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 49 / 50

La bacterie Brucella abortus : suite et n

L'estimation ponctuelle de la proportion d'avortements est egale a :

53=134.

L'intervalle de conance asymptotique a 95% pour la proportion d'avortements est egal a : ]0;3127336;0;4783111[ Les commandes sousRpour obtenir les resultats ci-dessus sont les suivantes :> pe<-53/134 > pe-qnorm(0.975)*sqrt((pe*(1-pe))/134) [1] 0.3127336 > pe+qnorm(0.975)*sqrt((pe*(1-pe))/134) [1] 0.4783111 Myriam Maumy-Bertrand (IRMA)Vendredi 06 octobre 2017 50 / 50quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11