on notera (λ, µ) les coordonnées de P dans ce repère et l'on calculera les équations des droites considérées Exercice 15 Dans un triangle ABC rectangle en A,
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[PDF] TD 5 : Problèmes de géométrie 1 Géométrie analytique 2 Géométrie
on notera (λ, µ) les coordonnées de P dans ce repère et l'on calculera les équations des droites considérées Exercice 15 Dans un triangle ABC rectangle en A,
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interprétation géométrique : les deux équations du système sont les équations de deux droites confondues Exercice 4 Page 15 1re CD – math I – Géométrie
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Université Paris 7 Premier semestre 2008-2009
L1 MASS - Groupe 1M4 MA1 - Algèbre et Analyse élémentaires TD 5 : Problèmes de géométrie1 Géométrie analytique Exercice 1.Donnez une paramétrisation de la droite(Δ)(du plan) d"équation4x-3y+ 1 = 0. Exercice 2.Donnez une paramétrisation du planPd"équation3x+y+ 2z+ 1 = 0.Exercice 3.Donnez l"équation de la médiatrice d"un segment[A,B], oùAetBont pour coordonnées
respectives(xA,yA)et(xB,yB).Exercice 4.Donnez les équations cartésiennes des deux bissectrices associées aux deux droites sécantes
suivantes :(Δ1) : 3x+ 4y+ 3 = 0et(Δ2) : 12x-5y+ 4 = 0. Exercice 5.Donnez une équation cartésienne du planPperpendiculaire au planP?d"équation2x-3y+ 4z-1 = 0et contenant la droite(Δ)d"intersection deP?avec le plan d"équationy= 0.
Exercice 6.Donnez l"équation générale des plans contenant la droite d"équation?x-y-z= 02x+y+z+ 1 = 0
Exercice 7.A quelle(s) condition(s) l"équationx2+y2+ax+by+c= 0est-elle celle d"un cercle? Donnez le cas échéant le centre et le rayon de ce cercle.2 Géométrie affine, géométrie euclidienne
Exercice 8.SoientA,B,CetDquatre points dans l"espace. Montrez que les milieux de[A,B], [B,C],[C,D]et[D,A]forment un parallélogramme. Exercice 9.SoitABCDun quadrilatère. Montrez queABCDest un parallélogramme si et seulement si les milieux des diagonales sont confondus.Exercice 10.SoitABCDun parallélogramme.
1) Montrez queABCDest un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.
2) Montrez queABCDest un rectangle si et seulement si ses diagonales sont de même longueur.
Exercice 11.SoitABCun triangle non plat.
11) Montrez que les médianes du triangle sont concourantes.
2) Montrez que les hauteurs du triangle sont concourantes.
3) Montrez que les médiatrices du triangle sont concourantes.
Exercice 12.SoientA,BetCtrois points du plan.
1) Pour quelles positions deMatteint-on le minimum deMA2+MB2?
2) Pour quelles positions deMatteint-on le minimum deMA2+MB2+MC2?
Exercice 13.SoitABCDun rectangle non plat,HetKles projetés orthogonaux respectifs deBet Dsur la diagonaleAC. Calculez la distanceHKen fonction des longueurs respectivesaetbdes cotés ABetBC. Indication. On calculera--→HK.-→AC.Exercice 14.SoitABCDun parallélogramme non plat du plan tel que--→AB=--→DC. On considère
encore un pointPtel que la parallèle à(AB)menée parPcoupe(AD)enEet(BC)enF; tel que la parallèle à(AD)menée parPcoupe(AB)enGet(CD)enH. Montrez que les trois droites(EH),(FG)et(AC)sont concourantes ou parallèles. Indication. On se placera dans le repère cartésien(A;--→AB,--→AD);
on notera(λ,μ)les coordonnées dePdans ce repère et l"on calculera les équations des droites considérées.
Exercice 15.Dans un triangleABCrectangle enA, on noteA?le milieu de[BC],Hle projeté orthogonal deAsur(BC),IetJles projetés orthogonaux deHsur(AB)et(AC). Montrez que(IJ) est orthogonal à(AA?). Exercice 16.Théorèmes de Ménélaüs et de Céva. SoitABCun triangle du plan,A??(BC),B??(CA),C??(AB)trois points distincts des sommets du triangle.1) Montrez queA?,B?etC?sont alignés si et seulement siA
?BA ?C.B ?CB ?A.C ?AC ?B= 1.2) Montrez que(AA?),(BB?)et(CC?)sont concourantes ou parallèles si et seulement siA
?BA ?C.B ?CB ?A.C ?AC ?B= -1. Indication. On se placera dans le repère cartésien(A;--→AB,-→AC).Exercice 17.Théorème de Pappus.
On considère deux droitesΔetΔ?sécantes en un pointO. On considère également trois pointsA1,
A2etA3(resp.B1,B2etB3) deΔ(resp.Δ?), de sorte que lorsquei < jles droites(AiBj)et(AjBi)
sont sécantes; on appelle alorsMi,jleur point d"intersection. Montrez que les trois pointsM1,2,M2,3etM1,3sont alignés.Indication.On considèrera le repère cartésien(O;-→i ,-→j), où-→i(resp.-→j) dirigeΔ(resp.Δ?). On
montrera alors que siai(resp.bj) désigne l"abscisse deAi(resp. l"ordonné deBj), le pointMi,ja pour
coordonnées ?aiaj(bj-bi)b jaj-biai,bibj(aj-ai)b jaj-biai? 23 Orthogonalité
Exercice 18.Montrez que les vecteurs(
(1 1 1) (1 -1 0) (1 1 -2) forment une base orthogonale deR3.En déduire une base orthonormée.
Quelles sont les coordonnées dans cette base de( (1 0 0) Exercice 19.Trouvez une base orthogonale ayant comme premier vecteur le vecteur( (1 2 3)Exercice 20.Montrez que si un vecteur de-→Eest orthogonal à tout vecteur de-→E, il est nul.
Exercice 21.Soient?uet?vdeux vecteurs de-→E. Montrez que si l"ensemble des vecteurs orthogonaux à?vcoïncide avec l"ensemble des vecteurs orthogonaux à?u, alors?uet?vsont colinéaires. 3quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1