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Exercices sur la géométrie analytique Premi`ere S Exercice 1 Donner l'équation cartésienne de : la droite passant par A(-1; 2) et de vecteur -→ u ( 3 2)
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interprétation géométrique : les deux équations du système sont les équations de deux droites confondues Exercice 4 Page 15 1re CD – math I – Géométrie
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GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE 35
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Chapitre 4: Géométrie analytique dans l'espacePrérequis: Géom. vectorielle dans V
3 , géom. analytique dans le plan Requis pour: Algèbre linéaire , examen de maturité. § 4.1 Équation paramétrique de la droite dans l'espaceConvention
Dans tout ce chapitre de géométrie analytique dans l'espace, nous travaillerons dans l'espace V
3 , muni d'un repère orthonormé direct.Définition
Équation paramétrique d'une droite
dans l'espaceSystème d'équations paramétriques
d'une droite dans l'espaceUne droite est définie par un de ses points et par un vecteur directeur donnant la direction de la droite. On trouve tous les points de la droite en faisant varier le
paramètre k • Soit la droite d passant par le point A(a 1 a 2 a 3 ) et de vecteur directeur v =v 1 v 2 v 3 . Alors M x y z d AM=k v k IROM=OA+k
v k IR x y z =a 1 a 2 a3 +kv 1 v 2 v 3 k IR x=a 1 +kv 1 y=a 2 +kv 2 z=a 3 +kv 3 k IRExemple
Soit la droite (d): x=3k+1
y=2k z=5k+2 Donner deux équations paramétriques différentes de cette droite d.36 CHAPITRE 4
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renf géométrie analytiqueExercice 4.1 :
Soit le point A(2 ; 0 ; 3). Donner un système d'équations paramétriques des droites suivantes: a) d 1 passant par A et B (1 ; 4 ; 5). b) d 2 passant par A et parallèle à la droite (g): x=2k1 y=3k z=5k+2 c) d 3 passant par A et parallèle à l'axe Oy.Exercice 4.2 :
Une droite d est définie par un point A(2 ; 4 ; 5) et un vecteur directeur v =1 4 2 a) Le point P(5 ; -8 ; 12) appartient-il à la droite d ? b) Le point Q(x ; y ; ) appartient à d. Compléter les 2 premières coordonnées de Q en fonction de .Exercice 4.3 :
Préciser la position particulière des droites d ci-dessous : a) d passe par A(2 ; 1 ; 3) et B(0 ; -1 ; 3)
b) d passe par A(2 ; 3 ; -1) et de vecteur directeur v =3 0 1 c) d passe par A(0 ; 0 ; 1) et B(0 ; 1 ; -2) d) d passe par A(1 ; -2 ; 1) et de vecteur directeur v =2 5 0Exemple
Calculer le point d'intersection des 2 droites suivantes : d x y z =2 1 0 +k3 1 1 et ( e x y z =7 3 1 +n1 4 1GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE 37
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Exercice 4.4 :
Calculer le point d'intersection des deux droites sécantes suivantes: a) (d): x=13+5k y=32k z=5+3k (e): x=n y=2n+7 z=1 b) La droite d passant par A(1 ; 2 ; -3) et B(-2 ; 3 ; -1) et la droite e passant par C(-3 ; 0 ; -15) et D(-1 ; -4 ; -31). c) (d): x=5k y=7k z=1+2k (e): x=4+n y=73n z=2+nDéfinition
On appelle traces d'une droite les points d'intersection de cette droite avec les plans de référence Oxy, Oxz et Oyz. La plupart du temps, la trace est un point, mais cela peut aussi être une droite.
T (... ; ... ; 0) , T (0 ; ... ; ...) , T (... ; 0 ; ...) Il peut aussi ne pas y avoir de trace sur un plan de référence.
Exercice 4.5 :
Déterminer les traces T , T et T des droites suivantes: a) x y z =1 4 2 +k1 2 2 b) x y z =3 9/2 1 +k0 3 2 c) x y z =3 4 4 +k0 0 2 Dans chaque cas, représentez la situation dans un système d'axes.Exercice 4.6 :
Soit la droite d passant par les points A(6 ; 2 ; 1) et B (-3 ; 8 ; -2). a)Déterminer les trois traces de d.
b) Représenter la situation dans un système d'axes. c) Construire sur votre figure les projections de d sur les trois plans.38 CHAPITRE 4
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renf géométrie analytique § 4.2 Équations cartésiennes de la droite dans l'espaceDéfinition
Dans le cas où les composantes v
1 , v 2 et v 3 du vecteur directeur v sont toutes trois non nulles, la droite d peut être caractérisée par la double égalité : (d):xa 1 v 1 =ya 2 v 2 =za 3 v 3 v 1 v 2 v 3 0Appelées équations cartésiennes de d.
Exemple
Déterminer les équations cartésiennes de la droite: x y z =1 3 3 +k1 1 3Exercice 4.7 :
Déterminer les équations cartésiennes des droites suivantes: a) x=43k y=6k z=85k b) x=3+2k y=52k z=1+k c) x2y=13 x+ z=2 d) 3x+2yz=4 x y+ z=2Exercice 4.8 :
Donner une équation paramétrique de la droite : x2 3 =y1 7=z3 2GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE 39
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Exercice 4.9 :
Montrer que les systèmes d'équations suivants déterminent la même droite. a) d x=3+2k y=52k z=1+k (g): x=5+2r y=32r z=2+r (h): x=1+s y=9s z=1+0,5s b) d16x2y11z=0
14x y10z=3 (g):
x2 3 =y5 2=z2 4Exercice 4.10 :
Souvenirs, souvenirs... de 1
ère
année :Dans chacun des cas suivants, les droites AB et CD sont-elles gauches, strictement parallèles, confondues ou sécantes ? Si elles sont sécantes, déterminer leur point d'intersection.
a)