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permutations de E Ce groupe est non commutatif dès que E a au moins trois éléments donc maintenant montrer que tous ces éléments sont distincts Soient

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Groupes, anneaux, corps Exercice 1 1 On munit de la loi de composition interne définie par : ( )( ) Montrer que est commutative, non associative, et que est 

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R, muni de cette loi est-il un groupe commutatif ? 2 Montrer que a = 1 n'est pas un élément régulier de (R,⋆) 3 Calculer x⋆x⋆ ⋆x ︸ ︷︷ ︸ n pour n ≥ 1

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Ceci montre que H est le plus petit des sous-groupes de G contenant A à x le complexe eix est un morphisme surjectif de groupes commutatifs, de noyau égal

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application, il faut montrer que si x est un autre représentant de xker(f), alors f(x) = f(x ) 2) L'ensemble des éléments de torsion d'un groupe commutatif G est un  

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(2) Montrer que le groupe abélien (Q, +) n'est pas de type fini (3) Soit G un sous- groupe de (C∗, ·) dont chaque élément est d'ordre fini Est-il 

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des applications, est un groupe Il peut être non commutatif même si G l'est [ exercice : montrer que c'est le cas pour G = Z/2Z × Z/2Z] • On notera parfois G ≃ H 

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On dit que le groupe (G,∗) est commutatif, ou abélien, si ∗ est com- mutative L' ensemble faut montrer que c'est un morphisme, et φ est bijective, le montrer

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(Z,+)

G=ta,b,cu ♡

x♡y x y a b c a a b c b b c a c c a b a b♡c=c♡b=a G

¯x x

xPG,¯¯x=x x,yPG x,y,zPG x=y ā ĕ x1=x2 nPNx$n

˛x$0 =e

(x$n)$p=x$(nˆp) Ŀ ŀ xPGnPN x$(´n) = ¯x$n x$(´n) = x$n

ĕ Z

(G,ˆ) 1G xPG x´1 x

ˆ xˆy xy

(x´1)´1=x (xy)´1=y´1x´1 xy=zðñx=zy´1 yx=zðñx=y´1z xz=yzùñx=y zx=zyùñx=y x

0= 1Gx1=x

@nPN,x(n+1)=xnx@nPN,x´1= (x´1)n= (xn)´1 @n,pPZ,xnxp=x(n+p)@n,pPZ,(xn)p=xnˆp (G,+) xPG ´x x

´(´x) =x

´(x+y) = (´y) + (´x) = (´x) + (´y)

(y+x=)x+y=zðñx=z+ (´y) z+ (´y) z´y x+z=y+zùñx=y

0.x= 0G1.x=x

@nPN,(n+ 1).x=n.x+x@nPN,(´n).x=n.(´x) =´(n.x) ´n.x @n,pPZ,n.x+p.x= (n+p).xp.(n.x) = (pˆn).x

EE ˝ S(E) (S(E),˝)

E ĕ E

EE EE

EPS(E)

fPS(E) ˝ f´1 (S(E),˝) abc E f,g:EÑE '%f(a) =b f(b) =a @xPEzta,bu,f(x) =x,$ '%g(b) =c g(c) =b @xPEztb,cu,g(x) =x.

ā f˝g‰g˝f

(f˝g)(a) =f(g(a)) =f(a) =b, g˝f)(a) =g(f(a)) =g(b) =c.

Sn (S(E),˝)E=t1,2,3,...,nu Sn n!

S2S2=t,τu ɍ :t1,2u ÝÑ t1,2u

xÞÝÑx τ:t1,2u Ñ t1,2u

τ(1) = 2τ(2) = 1

x˝y x y

S3S3=tE,τ1,2,τ2,3,τ3,1,s,s1u ɍ

:t1,2,3u ÝÑ t1,2,3u xÞÝÑx a,b:t1,2,3u Ñ t1,2,3u τa,b(a) =bτa,b(b) =aτa,b(x) =x s:t1,2,3u Ñ t1,2,3u s(1) = 2s(2) = 3s(3) = 1 s1:t1,2,3u Ñ t1,2,3u s1(1) = 3s1(2) = 1s1(3) = 2 x˝y x y

τ1,2τ1,3τ2,3s s1

τ1,2τ1,3τ2,3s s1

1,2

1,2s1s τ2,3τ1,3

1,3

1,3ss1τ1,2τ2,3

2,3

2,3s1sτ1,3τ1,2

s s τ

1,3τ2,3τ1,2s1

s 1 s

1τ2,3τ1,2τ1,3s

(F(A,G),b) ɍA (G,ˆ) b @f,gPF(A,G), fbg:AÝÑG xÞÝÑf(x)ˆg(x) n nPN,ně2 Z "n @x,yPZ,x"nyùñy´xPnZ @xPZ,x"nx x´x= 0PnZ x,yPZ x"ny y´xPnZ x´yPnZ y"nx z´y=nk1ɍk1PZ z´x= (z´y) + (y´x) =n(k1+k)PnZ x"nz x,x1,y,y1PZ x"nx1y"ny1 x´x1PnZy´y1PnZ x´x1+y´y1PnZ @x,yPZ,(˙x= ˙yðñx"y[n]) x,yPZ x"y[n] zP˙x z"x[n] z"y[n]"n zP˙y ˙xĂ˙y ā˙yĂ˙x ˙x= ˙y

Z/nZ n x,yPZ ˙x'˙y=˙Ŕx+y

' Z/nZ (Z/nZ,') a=x´nk ɍk=[x n n

Z/nZ n ˙a,aPJ0,n´1K

n

ăk+1

k=[y n n n

ă1 k=[y

n ]= 0 y=x+nk=x @x,yPJ0,n´1K,˙x= ˙yùñx=y @x,yPJ0,n´1K,x‰yùñ˙x‰˙y

Z/nZ n ˙a,aPJ0,n´1K Z/nZ

n x y x1 ˙x1= ˙x y1 ˙y1= ˙y x1"nxy1"ny x1+y1"nx+y

Ŕx+y=˙Ŕx1+y1

' Z/nZ ' x,y,zPZ

(˙x'˙y)'˙z=˙Ŕx+y'˙z=˙Ŕ(x+y) +z=˙Ŕx+ (y+z) = ˙x'˙Ŕy+z= ˙x'(˙y'˙z)

Z/nZ ' ˙0 xPZ

˙x'˙0 =˙Őx+ 0 = ˙x=˙Ŕ0 +x=˙0'˙x xPZ y=´xyPZ ˙x'˙y=˙Ŕx+y=˙Ŕx+ (´x) =˙0 =˙Ŕ(´x) +x=˙Ŕy+x= ˙y'˙x

Z/nZ '

' x,yPZ x'˙y=˙Ŕx+y=˙Ŕy+x= ˙y'˙x (G,ˆ) H G H (G,ˆ) 1 GPH

H ˆ@x,yPH,xˆyPH

H (G,ˆ) ˆ H (H,ˆ)

R tzPC,zn= 1u 0 nPNnZ Z (G,ˆ) t1GuG G G

σ(A) ā A σ(A)ĂAùñσ(A) =A H

(Sn,˝) PH H ˝ σ(A)ĂAσ1(A)ĂA σ˝σ1(A)ĂA

H σ(A)ĂA σ´1(A)ĂA

σ(A)ĂA σ(A) =A xPA xPσ(A)

(F(R,R),+) tλf,λPRuɍf F(R,R) tfPF(R,R),f(0) = 0u C n(R,R)ɍnPNDn(R,R)ɍnPN T T k k Z/6Z t

1Z/6Z˙5

2˙4t˙0,˙2,˙4u

3t˙0,˙3u

(Z,+)

G Z t0u Z

ně1 G=nZ xPG xnx=nq+r ɍqPZrPJ0,n´1K r=x´nq=xloomoon

PG+(´nq)loomoon

r= 0răn xPnZ Z nZ ɍ nPN (G,ˆ) H G H (G,ˆ) %1 GPH @x,yPH,xy´1PH %1 GPH @x,yPH,xy´1PH

1GPHĘ

x= 1G yPHy´1PH (G,ˆ) G G (Hi)iPI G I H=Ş iPIHi

1GPH @iPI,1GPHi

x,yPH iPIxPHiyPHixy´1PHi xy´1PH

H (G,ˆ)

(G,ˆ) A G A

GA xAy=Ş

HPEH tau xay Z/6Zx˙2y=t˙0,˙2,˙4ux˙3y=t˙0,˙3ux˙5y=Z/6Z ˙5 Z/6Z xt

˙2,˙3uy=Z/6Zt˙2,˙3u Z/6Z

(R,+)x2πy= 2πZ xay=tak,kPZu 1G=a0 k,k

1PZ xy=akak1=ak+k1P tak,kPZu

x

´1= (ak)´1=a´kP tak,kPZu

aa=a1 (Z,+) ĕ Z=tk.1,kPZu=x1y

Z ĕ nZ=tk.n,kPZu=xny

(Un,ˆ) Un=tωk,kPZu=xωyɍω=e2π n (G,)(H,♡) (G,)(H,♡) φ:GÑ

H @x,yPG,φ(xy) =φ(x)♡φ(y)

xÞÑ? xÞÑax(R,+)(R,+) uÞÑ(u) Sc(N,R)(R,+) @x,yPG,φ(xy) =φ(x)φ(y)

φ(1G) = 1H

@xPG,φ(x´1) = (φ(x))´1 @xPG,@nPZ,φ(xn) = (φ(x))n a=aˆa´1= 1H xPG φ(x´1)φ(x) =φ(x´1x) =φ(1G) = 1H āφ(x)φ(x´1) = 1H

φ(x´1) = (φ(x))´1

xPG @nPN,φ(xn) = (φ(x))n n= 0φ(x0) =φ(1G) = 1H= (φ(x))0 nPN φ(xn) = (φ(x))n φ(xn+1) =φ(xnx) =φ(xn)φ(x) = (φ(x))nφ(x) = (φ(x))n+1 n

φ1H1H=φ(1G)

φ(xy)Pφ

φ=txPG,φ(x) = 1Hu

φ G

1

GPφφ(1G) = 1H

x,yPφ φ(xy) =φ(x)ˆφ(y) = 1Hˆ1H= 1H xyPφ xPφφ(x´1) = (φ(x))´1= (1H)´1= 1H x´1Pφ x,yPGφ(x) =φ(y)ðñxy´1Pφ

φ φ=t1Gu

φ(x) =φ(y)ðñφ(x)(φ(y))´1= 1Hðñφ(x)φ(y´1) = 1H

ðñφ(xy´1) = 1Hðñxy´1Pφ

xPφ φ(x) = 1H=φ(1G) φ x= 1G φĂ t1Gu

φ=t1Gu

x,yPG φ(x) =φ(y) xy´1Pφ xy´1= 1G x=y

θÞÝÑeθ

x,yPG =φHI(φGH(x)φGH(y)) = (φHI˝φGH(x))♡(φHI˝φGH(y))

φ (G,ˆ)(H,ˆ) φ´1 (H,ˆ)

φ (G,ˆ)(H,ˆ) x,yPH u,vPG φ(u) =x

uˆv=φ´1(x)ˆφ´1(y) φ´1 (H,ˆ)(G,ˆ) 2 2 @x,yP] 2 2 @x,yP] 2 2 @x,yP]´π 2 2 2 2 [R f:ZÝÑU kÞÝÑe2kπ n (Z,+)(Un,ˆ) nZ f(x+y) =e2(x+y)π n =e2xπ n e2yπ n =f(x)f(y) n xPZ xPfðñf(x) = 1ðñ2xπ n

P2πZðñx

n

PZðñxPnZ

φ:Z/nZÝÑUn

uÞÝÑe2kπ n

ɍk ˙k=u

n k k k,k1PZ ˙k=˙k1 k´k1PnZ k´k1Pf f(k) =f(k1) e2kπ n =e2k1π n

φ(u+u1) =e2(k+k1)π

n =e2kπ n e2k1π n =φ(u)φ(u1). n

ɍkPZ

n = 1 kPnZ u=˙k=˙0 φĂ t˙0u φ nZ

φ (Un,ˆ)(Z/nZ,+)

G H H G

GH GH

GH GH

G GG

G G ā

G ā

G (G,ˆ) xay n G n

φ:ZÝÑG

kÞÝÑak.

φ (Z,+)(G,ˆ) @k,k1PZ,ak+k1=akak1

φ=tak,kPZu=xay φ (Z,+) mZɍmPN

m= 0 φ=t0uφ φ Z φ=xay xay mě1xay=ta0,a1,...am´1u

ĕ ta0,a1,...am´1u Ă xay

0 k=mq+rrPJ0,m´1K b=amq+r=(am)qloomoon

=1

GmPmZ=φa

r=arP 1 2 1 1 3 1 ak= 1G am= 1G@kPJ1,m´1K,ak‰1Ga0= 1G a 1 2 1 3 m=ně1 φ‰ t0u a n 2 1

1.˙2 =˙2‰˙02.˙2 =˙4‰˙0

(S8,˝)

Sn 1ÞÑa1... 

1 2 3¨¨¨n

a

1 2 3 4 5 6 7 8

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