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Algebre1-GROUPES

DavidHarari

1.Generalites

1.1.Denitions,premieresproprietes

xe=ex=xpourtoutxdeG. etonditquex0estl'inversedex.

Remarques:

xy

1ouy1x.

sionveutmontrerque(G;:)estungroupe. groupesconsideres. 1

Exemples:

1.LegroupetrivialG=f0g.

n'apasd'inverse). corps. 1 iln'estpasabeliensin3. unautomorphismedeG.

Remarques:

pourtoutxdeG.

OnnoteraparfoisG'Hpour"GestisomorpheaH."

ounoncommutatifs. 2

Exemples.

parn'importequelcorpscommutatif. de(C;+)dans(C;). n'estpasunmorphisme. morphisme"deGdansG,i.e.ona(xy)1=y1x1.2 K verie: 12H.

Pourtousx;ydeH,onaxy2H.

PourtoutxdeH,onax12H.

quienfaitungroupe. plussimpleenpratique. 3 noyauestreduital'elementneutre.

Exemples.

pasdensessontdecetteforme).

Lessous-groupesdeZsontlesnZavecn2N.

deSn,legroupealterneAn. somme).LegroupeGtors:=S n2NG[n]estegalementunsous-groupe engendreparAetonlenotehAi. 4 i2A(siAestvide onprendhAi=feg). quegestd'ordreinni. deZ=nZsurhgi. element,cycliques'ilestdeplusni. aZ=nZ,ounestlecardinaldugroupe. d.]

Exemplesdegroupesengendres.

5 exions rapportaunsous-espacedecodimension2). deGdans(AutG;). hdeH,onaghg12H.OnnotealorsHCG.

Remarques:

parg1). joursdistinguedanslui-m^eme). groupedistinguedeG.

Exemples

1.Soitn2.AlorsAnestdistinguedansSn.

6 doncHn'estpasdistinguedansSn. int:G!AutGdoncZCG. etpasKCG. G. y laclassedeadansG=HestbienaH. groupedeHdeGdivisel'ordredeG. bijectionsdeGsurG. 7

Alors:

1.PourtoutadeG,onaaH=Had'ouG=H=HnG.

legroupequotientdeGparH. ab.Montrons h G.

Remarques:

L'elementneutredeG=Heste=H.

p. groupessontdistingues,cf.TD...] 8 d'indicenideG,etonnote[G:H]cecardinal.

Remarques:

G.

G=H,ona~f(ab)=~f(

ab)=f(ab)=f(a)f(b)=~f(a)~f(b)donc~festun

Enna2ker~fsigniea2kerf,i.e.a=eG=H.

H.]

1.4.Quelquescomplements

Denition1.19Onditqu'unesuite(nieouinnie)

:::!Gi!Gi+1!Gi+2!::: 9 i,onaImfi=kerfi+1.Enparticulier

1!Ni!Gp!H!1

Remarques:

fondrapas"sur-groupe"etextension.

0aulieude1dansunesuiteexactecourte.

Exemples.

1.SiKestuncorps,alorslasuite

1!SLn(K)!GLn(K)det!K!1

estexacte.

2.Lessuites

1!SOn(R)!On(R)det!f1g!1

et

1!SUn(C)!Un(C)det!S1!1

module1.

3.Sin2,lasuite

1!An!Sn"!f1g!1

estexacte.

1!Z!Gint!IntG!1

10 extensionsdeZ=2ZparZ=2Z. morpheaK)deshomotheties.] lenoteD(G). ("abelianise"deG). deG=H. sous-groupetelqueG=Hsoitabelien,alorsona xyx1y1=edansG=H touslescommutateurs. tinguessontGetfeg,parfaitsiD(G)=G. 11

2.Groupesoperantsurunensemble

2.1.Generalites,premiersexemples

veriant

PourtoutxdeX,ona1:x=x

Remarques:

S(X)aulieud'unmorphisme.

Premiersexemples.

dansl'exempleprecedent).

3.Snoperesurf1;:::;ngpar:x=(x).

gaucheG=Hparg:(aH)=(ga)H.

X,onappelle:

operetransitivementsurX. 12 beaucoupplusfort).

Exemples.

S(G)'Sn(theoremedeCayley).

isomorphesaSn1. actiontransitive. G=H translationagauche. unensembleniX.Soit l'ensembledesorbites,notons#H!lecardinal d'apreslapropositionprecedente).Alors #X=X !2 #G #H! 13 constituedespointsxesdeG.Alors X x2X1 #!(x)=1#GX g2G#(Fixg)

Depluscenombreestegalaunombred'orbites.

verientg:x=x.AlorssoncardinalestP g2G#(Fixg),maiscecardinalest aussiP x2X#Hx=P x2X#G #!(x).Laformuleenresulte.D'autrepart,si estl'ensembledesorbites,ona X x2X1 #!(x)=X !2 X x2!1 #!=X !2 1=# exactementkpointsxes.AlorsPn k=0kPn(k)=n!.

2.2.p-groupes;theoremesdeSylow

decardinalpn,ounestunentier.

1.LecentreZdeGn'estpastrivial.

14 #Z. p lemmesuivant: abelien. elementsdeGcommutent.

TheoremesdeSylow.

deSylow. theoreme). 15 n2N.AlorsGppossedeunp-Sylow. G S prouverlesdeuxlemmes. cetindice#H p,soit (pn1)(pnp):::(pnpn1) non-abelien).] decardinaln=pmavecpnedivisantpasm.Alors unanti-morphismeetpasunmorphisme. 16

3.kestcongrua1mod.p(donckdivisem).

dep-Sylow. X element)et k=#XS+X !2 0#!

Lecardinaldesorbitesquisontdans

0diviseceluideSetn'estpas1,donc

telquesTs1=TpourtoutsdeS,alorsS=T.

S,doncnalementT=S.8

2.3.Produitsemi-directdedeuxgroupes

notammental'oraldel'agregation... surl'ensembleproduit. 17

Henposant

(n;h):(n0;h0):=(n(h:n0);hh0) h Ona et

Remarques:

jouentpasdesr^olessymetriques.

1.Onaunesuiteexacte

1!Ni!Gp!H!1

sous-groupedistingue(noteencoreN)9dansG. danslequeloneectueleproduitsemi-direct. 18 (encorenoteH)deG. G. soitexacteestimmediat.

2.Ilsutdeposers(h)=(1;h).

(h:n;h)(1;h1)=(h:n;1)=h:n. tenantdeuxsous-groupesNetHavec i)NCG. ii)N\H=f1g. iii)G=NH.

AlorsG'NoHpourl'operationh:n=hnh1.

2.(Caracterisation"externe")Soit

1!N!G!H!1

pourl'operationh:n=s(h)ns(h)1. 19 hnh nhn exacteetdelasection. -SoientNetHdeuxgroupes,'et deuxmorphismesH!AutN.S'il existeu2AutNtelque (h)=u'(h)u1("actionsconjuguees"),alors

No'H'No H.]

-SoientNetHdeuxgroupes,'et deuxmorphismesH!AutN.S'il existe2AutHtelque'= ,alorsNo'H'No H(envoyer nh2No'Hsurn(h)2No H).]

Exemples.

1.Pourn2,lasuiteexacte

1!An!Sn"!Z=2Z!1

estscindeevialasectionsquienvoie

0surIdet

1surunetransposition

2.SoientKuncorpsetn2N.Lasuiteexacte

1!SLn(K)!GLn(K)det!K!1

GL n(K)'SLn(K)oK. 20 particulierlasuiteexacte

0!Z=2Z!Z=4Z!Z=2Z!0

0; 2gqui estisomorpheaZ=2Z)n'estpasscindee.10 lesnre exacte

1!Z=nZ!Dn!Z=2Z!1

surunere xpourx2Z=nZ.

2.4.ComplementssurZ=nZ

sansdemonstration: equivalentes: i)(s;n)=1. ii)sengendrelegroupeadditifZ=nZ. 21

Proposition2.18Soitn2N,onecritn=Qr

i=1piiaveclespipremiers deuxadeuxdistincts.Alors: etplusgeneralement'(p)=p1(p1)si1. estisomorpheaugroupemultiplicatif(Z=nZ).

3.Onaunisomorphismed'anneaux

Z=nZ'rY

i=1Z=piiZ etunisomorphismedegroupes (Z=nZ)'rY i=1(Z=piiZ)

4.Ona'(n)=Qr

i=1pi1 i(pi1)=nQr i=1(11 pi). soita=1enprenantx=

1.Ilestsurjectifcarsi'2Aut(Z=nZ),alorsen

posanta='(

1doitavoirun

antecedentpar'. que

1doit^etreenvoyesur

1. 22

3.L'applicationdeZ=nZdansQr

i=1Z=piiZquienvoiexsur(xi)1ir, etQr groupesd'inversiblesisomorphes.

4.resultede1.et3.

multiplicatifK.AlorsGestcyclique.

Demonstration:Onutiliselelemmesuivant

Lemme2.20Soitn2N,alors

n=X djn'(d) G non-abeliendeHd'ordre8. 23
lelemme,onan>P morpheaZ=(p1)Z).

Onpassemaintenantaucasgeneral.

p

1dans(Z=pZ)al'aidedulemmesuivant:

Lemme2.23Soientppremier6=2etk2N,alors

(1+p)pk=1+pk+1 avecentiernondivisibleparp. vraipourp,alors (1+p)pk+1=(1+pk+1)p=1+pk+2+pk+2pX i=2C ipipi(k+1)(k+2) etcommepdivisePp p p(k+1)(k+2)),onobtientleresultat. 24
p dev,alorsvm=

1doncum=(vm)=

1etp1(quiestl'ordredeu)divise

eux. 14 estisomorpheaugroupeadditifZ=2Z(Z=22Z). alorsrespectivementisomorpheaf0getaZ=2Z. 5dans phismesurjectif,dontlenoyaucontient

5,doncaussilesous-groupeNen-

gendrepar

5.Commelenoyauestdecardinal#(Z=2Z)

#(Z=4Z)=212=22,il 5).

1!N!(Z=2Z)!(Z=4Z)!1

enenvoyantl'elementnontrivialde(Z=4Z)sur

1.Decefait(Z=2Z)

(Z=4Z)augroupeadditifZ=2Z. 25
(onenverrad'autresenT.D.):

Onobtientunesuiteexacte

1!Q!Gf!G=Q!1

1surla

Aut(Z=pZ)telque'= carZ=(q1)Zpossedeununiquesous-groupe d'ordrep.Alorscommeonl'adejavu,onaZ=qZo'Z=pZ'Z=qZo Z=pZ vial'applicationnh7!n(h),n2Z=qZ,h2Z=pZ.

3.EtudeplusdetailleedeSnetAn

Letheoremeprincipaldecettesectionest

26
etantunsous-groupedistinguenontrivial. quelquescorollaires. casn=4estaverierseparement). theoreme. S n. n3.

H'Sn1.

27
quiestdecardinal(n1)!2.D'apreslecorollaireprecedent,lenoyau sontinterieurs(cf.TD). pardeuxlemmesassezsimples:

Lemme3.5Pourn3,les3-cyclesengendrentAn.

n5estutilisee). 28

3-cycleestegalaAnsin5.

Onmontremaintenantleresultatpourn=5:

Proposition3.7LegroupeA5estsimple.

transpositionsdansS4).

5,donctousleselementsd'ordre5.

Z=pZpourppremier(voirTD).

l'argument. 29

F,etFcontiennefa;b;c;(b);(c)g.

doncHaussi,doncH=Anaveclesdeuxlemmes.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44