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Soit :?3??2définie pour tout =( 1 2 3)??3par ( )=( 1+ 2+ 32 1+ 2? 3) 1 Montrer que est linéaire 2 Déterminer ker( ) Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Soit :?3??2définie par ( )=( + + ? +2 +2 ) On appelle =( 1 2 3)la base canonique de ?3(et ?= 1 2)la base canonique de ?2 1
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Une application linéaire étant dé?nie de manière unique par ses images sur une basecelarépondàlaquestion 2 On va chercher à exprimer le vecteur px;y;zqdans la base B1 Pour cela il su?t d’exprimerlesvecteurse 1e 2 ete 3 delabasecanoniqueB danslabaseB1 Ona e 1 f 2 f 1; e 2 f 3 ete 3 f 1 f 3: Ainsiona px;y;zq xe 1 ye 2 ze 3 p x
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Université Grenoble Alpes
Algèbre linéaire
Portail Mathématiques-Informatique
29 mars 2023
TABLE DES MATIÈRES
Avertissement au lecteur..................................................... 7 Programme.................................................................... 91. Systèmes linéaires......................................................... 11
Cours......................................................................... 111.1. Introduction............................................................ 11
1.2. Systèmes d"équations linéaires.......................................... 11
1.3. Transformations élémentaires d"un système............................. 12
1.4. La méthode du pivot de Gauss sur des exemples........................ 15
1.5. Description de la méthode en général................................... 19
1.6. Cas d"un système sans second membre.................................. 23
Fiche de révision.............................................................. 241.1. Méthode du pivot de Gauss............................................ 24
Entraînement................................................................. 251.1. Exercices............................................................... 25
2. Espaces vectoriels.......................................................... 31
Cours......................................................................... 312.1. Structure de groupe abélien............................................ 31
2.2. Structure d"espace vectoriel réel........................................ 32
2.3. Sous-espace vectoriel...................................................37
2.4. Combinaison linéaire, familles libres, liées et génératrices................ 39
2.5. Dimension d"un espace vectoriel........................................ 47
2.6. Dimension et sous-espace vectoriel...................................... 52
2.7. Un exemple : les applications polynomiales............................. 52
4TABLE DES MATIÈRES
Fiche de révision.............................................................. 572.1. Espaces vectoriels...................................................... 57
2.2. Preuves................................................................ 58
Entraînement................................................................. 592.1. Exercice corrigé........................................................ 59
2.2. Exercices............................................................... 60
3. Applications linéaires...................................................... 65
Cours......................................................................... 653.1. Définition.............................................................. 65
3.2. Opérations sur les applications linéaires................................. 66
3.3. Applications linéaires et sous-espaces, noyau et image................... 68
3.4. Rang d"une application linéaire......................................... 70
3.5. Application linéaires et bases........................................... 73
3.6. Formes linéaires, Hyperplans........................................... 74
Fiche de révision.............................................................. 793.1. Preuves................................................................ 80
Entraînement................................................................. 813.1. Exercices............................................................... 81
4. Calcul matriciel............................................................ 87
Cours......................................................................... 874.1. Matrices................................................................ 87
4.2. Opérations sur les matrices............................................. 87
4.3. Coordonnées et matrices colonnes...................................... 95
4.4. Matrices et applications linéaires....................................... 96
4.5. Matrice de changement de base.........................................100
4.6. Rang d"une matrice....................................................103
4.7. Opérations élémentaires sur les matrices................................106
4.8. Systémes linéaires et calcul matriciel....................................107
4.9. Calcul de l"inverse......................................................108
Fiche de révision..............................................................1114.1. Produit................................................................111
4.2. Matrices et applications linéaires.......................................111
4.3. Changement de base....................................................112
4.4. Preuves................................................................112
4.1. Vrai ou faux............................................................113
TABLE DES MATIÈRES5
4.2. Exercices...............................................................114
4.1. Diagonalisation.........................................................120
4.2. Décomposition LU.....................................................123
5. Applications à la géométrie...............................................127
5.1. Exemples d"applications linéaires.......................................127
5.2. Compléments sur les espaces affines.....................................136
5.3. Sous-espace affine......................................................138
5.4. Applications affines.....................................................139
5.5. Applications affines et sous-espaces affines..............................143
5.6. Exemples d"applications affines, isométries..............................144
Fiche de révision..............................................................1495.1. Preuves................................................................150
5.1. Exercices...............................................................151
5.1. Représentation matricielle d"une application affine......................158
5.2. Exemples...............................................................160
5.3. Projection centrale.....................................................161
6. Généralisation..............................................................165
6.1. Motivation.............................................................165
6.2. Structure d"anneau, de corps...........................................165
6.3. Espace vectoriel sur un corps...........................................167
6.4. Exemples...............................................................168
Fiche de révision..............................................................1706.1. Exercices...............................................................172
App. 1. Annales...............................................................175 Énoncé première session 2019..................................................175 Corrigé première session 2019.................................................177 Énoncé partiel 2020...........................................................181 Corrigé partiel 2020...........................................................183 Énoncé deuxième session 2020.................................................190 Corrigé deuxième session 2020.................................................1946TABLE DES MATIÈRES
Énoncé partiel 2021...........................................................203 Corrigé partiel 2021...........................................................205 Énoncé première session 2021..................................................211 Corrigé première session 2021.................................................213 Énoncé seconde session 2021...................................................220 Corrigé seconde session 2021..................................................223 Énoncé partiel 2022...........................................................234 Corrigé partiel 2022...........................................................236 Énoncé première session 2022..................................................241 Corrigé première session 2022.................................................243 Énoncé seconde session 2022...................................................251 Corrigé seconde session 2022..................................................253AVERTISSEMENT AU LECTEUR
Ce polycopié est destiné aux étudiants de l"Unité d"Enseignement MAT201. Cette unité d"enseignement est obligatoire pour les étudiants dedeuxième semestre du portail Mathématiques et Informatique de l"Université Grenoble Alpes. Ce polycopié est un outil pédagogique qui vients"ajouterau cours. Le point de vue du cours et celui du polycopié peuvent différer offrant deux façons d"aborder une même notion mathématique. Les chapitres de ce polycopié se décomposent de la façon suivante :1. Le cours contient les notions à assimiler. Il convient d"en apprendre les définitions
et les énoncés des résultats principaux. Les démonstrations données doivent être comprises. Elles servent de modèle pour les exercices de raisonnement. C"est en comprenant les démonstrations, qu"on apprend à en rédiger.2. La fiche de révisionn"estpasla liste minimale des notions à connaître. Après
avoir travaillé votre cours, lisez la fiche de révision : vousdevez être capable de réciter chaque définition ou résultat de cette fiche sans la moindre hésitation (y compris l"énoncé des hypothèses éventuelles), sinon cela veut dire que vous devez relire attentivement le cours.PROGRAMME
Prérequis pour cette UE :UE MAT101 du premier semestre.Programme résumé :
- Systèmes d"équations linéaires, résolution par la méthode du pivot de Gauss. - Espace vectoriel réel, sous-espace vectoriel, sous-espace engendré, combinaisons linéaires, Familles de vecteurs libres et liées, bases, dimension. - Application linéaires, noyau, image, théorème du rang. - Matrices, somme, produit. Matrice d"une application linéaire, matrice de la com- posée. Inverse d"une matrice. Calcul en dimension deux et trois. Expression ma- tricielle des équations linéaires. - Exemples en dimension 3 : rotations, symétries. Utilisation des matrices4×4 pour représenter les transformations affines de l"espace. Exemples. - Introduction à la notion de corps, d"espace vectoriel sur un corps. Exemples : espaces vectoriels complexes, sur le corps des rationnels sur le corps à deux élé- ments.Compétences visées :
Ce cours est destiné aux étudiants qui s"orientent vers les mathématiques ou l"infor- matique. Il couvre les concepts de base de l"algèbre linéaire. Les compétences viséessont la capacité à résoudre des systèmes d"équations linéaires, la maîtrise des notions
de dimension et d"application linéaire, les bases du calculmatriciel.MAT201 Systèmes linéairesCours
Systèmes linéaires
Emmanuel Peyre
Cours1.1. Introduction. -Au premier semestre, dans l"étude des intersections de droites
et de plans affines, vous avez considéré des systèmes d"équations de la forme?2X+Y-Z= 2
X+ 3Y+ 7Z= 11.
Plus généralement, on peut considérer des systèmes deméquations àninconnues. Denombreuses questions se réduisent, après modélisation, à des systèmes d"équations de
ce type. Le but de ce chapitre est de donner une méthode générale de résolution de ceséquations.
La méthode en question, qui s"appelle lepivot de Gauss, consiste à faire des opéra-tions élémentaires sur le système d"équation, chaque étapedonnant un système équi-
valent au système initial, afin de le réduire à un système de forme presque triangulaire,
qu"on peut résoudre aisément. Après quelques définitions, nous allons expliquer cette méthode sur des exemples avant de la décrire en général.