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4) Soit y1 , y2 deux réels, préciser un vecteur u de R4 tel que f(u)=(y1,y2) Exercice 2 – Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1,e2,e3) une base de 

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Exercice 1 Les applications suivantes de E dans F sont elles linéaires? Si oui, déterminer une base du noyau et une base de l'image

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19 jan 2014 · e) Comme Ker(f)=0R3 ⇒ f est injective Comme Im(f) = R3 ⇒ f est surjective Ainsi f est également bijective C'est un automorphisme Exercice 2

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Soit :?3??2définie pour tout =( 1 2 3)??3par ( )=( 1+ 2+ 32 1+ 2? 3) 1 Montrer que est linéaire 2 Déterminer ker( ) Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Soit :?3??2définie par ( )=( + + ? +2 +2 ) On appelle =( 1 2 3)la base canonique de ?3(et ?= 1 2)la base canonique de ?2 1

Feuille d'exercices 21 Applications linéaires - u-bordeauxfr

Une application linéaire étant dé?nie de manière unique par ses images sur une basecelarépondàlaquestion 2 On va chercher à exprimer le vecteur px;y;zqdans la base B1 Pour cela il su?t d’exprimerlesvecteurse 1e 2 ete 3 delabasecanoniqueB danslabaseB1 Ona e 1 f 2 f 1; e 2 f 3 ete 3 f 1 f 3: Ainsiona px;y;zq xe 1 ye 2 ze 3 p x

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Ld3MR

Corrigé:A pplicationslinéaires

Exercice1

Soitl'applicatio nlinéairef:R

3 →R 3 définiepa r: f(x 1 ;x 2 ;x 3 )=(x 1 -x 3 ;2x 1 +x 2 -3x 3 ;-x 2 +2x 3 a)Mo ntrerquefestunea pplicatio nlinéaire. b)Déterm inerlamatricedefparrappo rtàlabasecanoniquedeR 3 c)Déterm inerunebasedeKer(f). d)Déterm inerunebasedeIm(f). e)fest-elleinjectiv e,surjective,bijective?festdo ncun....morphisme.

Solution

a)Soi entu=(x 1 ;x 2 ;x 3 )etv=(y 1 ;y 2 ;y 3 )∈R 3 etαetβ∈R f(αu+βv)=f((αx 1 +βy 1 ;αx 2 +βy 2 ;αx 3 +βy 3 =(αx 1 +βy 1 -(αx 3 +βy 3 );2(αx 1 +βy 1 )+αx 2 +βy 2 -3(αx 3 +βy 3 );-(αx 2 +βy 2 )+2(αx 3 +βy 3 =((α(x 1 -x 3 )+β(y 1 -y 3 );α(2x 1 +x 2 -3x 3 )+β(2y 1 +y 2 -3y 3 );α(-x 2 +2x 3 )+β(-y 2 +2y 3 =α(x 1 -x 3 ;2x 1 +x 2 -3x 3 ;-x 2 +2x 3 )+β(y 1 -y 3 ;2y 1 +y 2 -3y 3 ;-y 2 +2y 3 )=αf(u)+βf(v) ⇒festunea pplicatio nlinéaire. 10-1 21-3
0-12 c)Soit(x;y;z)∈Ker(f)⇔ x-z=0

2x+y-3z=0

-y+2z=0 x=z

2z+2z-3z=0

y=2z x=0 y=0 z=0

Ker(f)=0

R 3 d)Pa rlethéorèm edurang, Im(f)=R 3 etlaba secano niquedeR 3 estaussi unebasedeIm(f) e)Comme Ker(f)=0 R

3⇒festinj ective.CommeIm(f)=R

3 ⇒festsurj ective. Ainsifestégalement bijective.C'estunautomorphisme.

Exercice2

SoitE=R

n

P+(1-X)P

a)Mo ntrerquefestunea pplicatio nlinéaire. b)Donner unebasedeKer(f)etdeIm(f)

Solution

a)Soi entP,P 1 etP 2 ∈R n [X]etλ∈R f(P 1 +P 2 )=P 1 +P 2 +(1-X)(P 1 +P 2 =P 1 +P 2 +(1-X)(P 1 +P 2 =P 1 +P 2 +(P 1 +P 2 -XP 1 -XP 2 =P 1 +(1-X)P 1 +P 2 +(1-X)P 2 =f(P 1 )+f(P 2 f(λP)=λP+(1-X)(λP) =λP+λ(1-X)P =λ(P+(1 -X)P )=λf(P) ⇒festunea pplicatio nlinéaire. Corrigé:A pp licationslinéairesLd,19/01/20142 b)f(a 0 +a 1 X+a 2 X 2 +...+a n X n )=a 0 +a 1 X+a 2 X 2 +...+a n X n +(1-X)(a 1 +2a 2 X+3a 3 X 2 ...+na n X n-1 =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a n x n +a 1 +2a 2 X+3a 3 X 2 +...+na nquotesdbs_dbs49.pdfusesText_49