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Exercices corrig´es de calcul diff´erentiel

Bernard Le Stum

Universit´e de Rennes 1

Version du 28 mars 2003

Introduction

J"ai eu l"occasion de participer pendant plusieurs ann´ees `a l"enseignement de l"Unit´e d"Enseignement CDIF (calcul diff´erentiel) de la Licence de Math´ematiques de l"Universit´e de Rennes 1. Lorsque j"ai commenc´e, le cours ´etait fait par Jean- Claude Tougeron qui avait r´edig´e un polycopi´e contenant une liste importante d"exercice. En pr´eparant mes travaux dirig´es, j"ai pris la peine de r´ediger des corrig´es des diff´erents exercices que j"ai pu faire avec les ´etudiants. J"ai aussi r´edig´e les rappels de cours que j"ai ´et´e amen´e `a faire. Ce document contient donc un certain nombre d"exercices corrig´es avec les rappels de cours n´ecessaires. Il est possible de couvrir tout ceci avec des ´etudiants de troisi`eme ann´ee d"universit´e sur un semestre en trois heures de Travaux

Dirig´es par semaine.

1 Fonctions diff´erentiables, formule de la moyenne

1.1 Rappel

SiEetFdeux espaces vectoriels norm´es, on noteL(E,F) l"espace des applications lin´eairescontinuesdeEdansF. C"est un espace vectoriel norm´e pour?Φ?= supu?=0?Φ(u)??u?. Remarquons que sii dimE <∞, la continuit´e est automatique. On ´ecrira tout simplementL(E) lorsqueF=E. On identifieL(R,F) avec Fpar Φ?→Φ(1). LorsqueF=F1×F2, on identifieL(E,F) avecL(E,F1)? L(E,F2). LorsqueE=RmetF=Rn, on identifieL(E,F) avecMn×m.

1.2 D´efinition

SoientEetFdeux espaces vectoriels norm´es etUun ouvert deE. On dit qu"une applicationf:U→Festdiff´erentiableenα?Us"il existe Φ?L(E,F) tel que ?f(α+h)-f(α)-Φ(h)??h?→0 quandh→0. Celle-ci est alors unique et on posef?(α) = Φ. C"est ladiff´erentielledefenα.

L"applicationfest alors continue enα.?

lestum@univ-rennes1.fr 1

1.3 Remarques

LorsqueE=R, on a doncf?(α)?F.

SiF=F1×F2, alorsf= (f1,f2) est diff´erentiable enαsi et seulement si f

1etf2le sont et alorsf?(α) = (f?1(α),f?2(α)).

1.4 Proposition

Sif:U→V?Fest diff´erentiable enαetg:V→Gest diff´erentiable en f(α), alorsg◦fest diff´erentiable enαet (g◦f)?(α) =g?(f(α))◦f?(α).

1.5 D´efinition

Sifest diff´erentiable en tout point deU, on dit que l"applicationf?:U→ L(E,F) est ladiff´erentielledef. Dans ce cas,fest continue.

1.6 Th´eor`eme des accroissements finis

Soitf: [a,b]→F(resp.g: [a,b]→R) une application continue sur [a,b] et

1.7 Th´eor`eme de la moyenne

Soitfune application diff´erentiable surUconvexe. Alors, pour touta,b?U,

1.8 Corollaire

Sifest diff´erentiable surUetf?= 0, alorsfest constante sur chaque composante connexe deU.

1.9 D´efinition

Sifest diff´erentiable etf?continue, on dit quefestcontinˆument diff´erentiable et on ´ecritf?C1(U,F). SiE=R, on ´ecritC1(U). On d´efinit par r´ecurrence, la notion de fonctionCk, pourk?N? ∞.

1.10 Proposition

Sif:E1× ··· ×En→Fest multillin´eaire continue,festC1et f ?(α)(h) =n? i=1f(α1,...,αi-1,hi,αi+1,...,αm). En particulier, sifest lin´eaire continue,f(α) =f.

1.11 D´efinition

Soitf:U?Rm→Rn. Consid´erons la fonction

x i?→fi(α1,...,αi-1,xi,αi+1,...,αm).

Si celle-ci est d´erivable enαi, on note∂fi/∂xj(α) le nombre d´eriv´e. On dit que

∂f i/∂xjest uned´eriv´ee partiellesdef 2

1.12 Proposition

Sif?(α) existe, alors les∂fi/∂xj(α) aussi etf?(α) = [∂fi/∂xj(α)]. Si toutes les d´eriv´ees partielles existent et sont continues enα, alorsfest diff´erentiable enα. Enfin,festC1ssi toutes les d´eriv´ees partielles existent et sont continues.

1.13 Remarque

En terme de matrices, la formule de d´erivation d"une application compos´ee s"´ecrit [∂(g◦f)i/∂xk(α)] = [∂gi/∂xj(f(α))][∂fj/∂xk(α)]. Notations : On se donnef:U?Rm→Rnetx:Rm?→Rm. On note x i(resp.uj) les coordonn´ees dansRm(resp.Rm?). On ´ecrit∂fi/∂ukau lieu de∂(f◦x)i/∂uk, (u1,...,um?) au lieu deαet (x1,...,xm) au lieu def(α). La formule devient alors [∂fi/∂uk(u1,...,um?)] = [∂fi/∂xj(x1,...,xm)][∂xj/∂uk(u1,...,um?)]. On rappelle que six= (xi)i?N?RN, alors?x?p:= (?∞ i=0|xi|p)1p ?R?∞ pourp≥1 et?x?∞:= sup∞i=0|xi| ?R? ∞. Enfin, pourp?[1,∞[, on pose l l p(R)?lq(R).

Exercice 1Soitf?C1(R)telle quef(0) = 0et

F:l1(R)→l1(R),x→F(x) := (f(xi))i?N.

Montrer queFest bien d´efinie et partout diff´erentiable et calculer F". Tout d"abord,Fest bien d´efinie grˆace au th´eor`eme de la moyenne qui nous ?x?1<∞et doncxi→0. Maintenant, on montre queFest diff´erentiable ena?l1(R) et queF?(a) = Φ avec Φ(h) = (f?(ai)(hi))i?N. Soit? >0. Commef?est uniform´ement continue

Sih?l1(R), on a

f(ai+hi)-f(ai)-f?(ai)(hi) =? hi 0 (f?(ai+t)-f?(ai))dt Il reste a v´erifier que Φ est bien d´efinie, lin´eaire et continue : or on a ?(f?(ai)i?N?∞<∞carf?est continue etai→0. Exercice 2Montrer que l"applicationf:=? - ?22:l1(R)→Rest bien d´efinie etC1, et calculerf?. 3 On ´ecritf=ψ◦δavecδ(x) = (x,x) etψ(x,y) =?x,y?:=?∞ i=0xiyi. et comme elle est bilin´eaire (sym´etrique), qu"elle est continue. Commeδest ´evidemment lin´eaire continue, on voit que ces applications sont C

1et par composition,festC1. De plus, on a

f ?(x) = (ψ◦δ)?(x) =ψ?(x,x)◦δ et doncf?(x)(h) =ψ?(x,x)(h,h) = 2?x,h?=:=?∞ i=0xihi Dans la suite, on rappelle que sif?C0([a,b]), alors?f?p:= (?b a|f(t)|p)1p pourp≥1 et?f?∞:= supt?[a,b]|f(t)|. Exercice 3SoitEl"espace vectoriel des fonctionsf: [0,1]→R2qui sontC1 sur]0,1[et dont les composantes sont continˆument d´erivables `a gauche en0et `a droite en1. On prolongef?par continuit´e en0et en1. On munit cet espace

T:E→R,f?→?

1 0 det(f(t),f?(t))dt estC1et calculer sa diff´erentielle. On munitF=C0([0,1]) de la norme? - ?∞etF×Fde la norme sup. On

´ecritT:=I◦det◦uavec

u:E→F×F,f?→(f,f?), det :F×F→F,(f,g)?→det(f,g) et

I:F→R,f?→?

1 0 f(t)dt. L"applicationuest clairement lin´eaire car ses composantes le sont. Elle est

TestC1et on a

T ?(f) = (I◦det◦u)?(f) = (I◦det)?(f,f?)◦u=I◦det?(f,f?)◦u.

Il suit que

T ?(f)(h) =I[det?(f,f?)(h,h?)] =? 1 0 [det(f(t),h?(t)) + det(h(t),f?(t))]dt.

Exercice 4Soit

?:]0,∞[→C0([0,1]),α?→(?α: [0,1]→R,t?→tα). On munitC0([0,1])de la norme? - ?1. Montrer que?est diff´erentiable et calculer??. D´eterminer une constanteCtelle que 4 On fixeα >0 et on montre que??(α)(t) = ln(t)tαavec la convention que ln(t)tαest nul ent= 0. Pour cela, on va calculer 1 0 |tα+h-tα-hln(t)tα|dt=h2(α+ 1)2(α+h+ 1). On v´erifie d"abord quetα+h-tα-hln(t)tα≥0. Commetα≥0, il suffit de consid´ererth-1-hln(t). Un changement de variablex=hln(t) nous ram`ene `aex-1-xqui est toujours≥0 (´etudier la fonction).

Ensuite, on int`egre par partie

1 0 ln(t)tαdt= [ln(t)tα+1α+ 1]10-? 1 01t t

α+1α+ 1dt=

0-[tα+1(α+ 1)2]10=-1(α+ 1)2.

Et comme on a

1 0 (tα+h-tα)dt= [tα+h+1α+h+ 1-tα+1α+ 1]10=

1α+h+ 1-1α+ 1=-h(α+h+ 1)(α+ 1),

on voit que 1 0 |tα+h-tα-hln(t)tα|dt=-h(α+h+ 1)(α+ 1)+h1(α+ 1)2= h

2(α+ 1)2(α+h+ 1)

comme annonc´e. Par la mˆeme m´ethode, on montre que?"(α)(t) = ln(t)2tα. On calcule ensuite en int´egrant par parties 1 0 ln(t)2tαdt= [ln(t)2tα+1α+ 1]10-? 1 0

2ln(t)t

t

α+ 1α+ 1dt=

0-2α+ 1?

1 0 Le th´eor`eme de la moyenne nous donne donc que Exercice 5Montrer que pourk?N, l"applicationL(E)→L(E),u?→ukest C

1et calculer sa diff´erentielle.

Montrer que siEest un espace de Banach, alors l"applicationL(E)×→ L(E),u?→u-1estC1et calculer sa diff´erentielle. 5 Dans le premier cas, il suffit de remarquer que notre application est la com- pos´ee de l"application diagonale qui est lin´eaire continue et de la multiplication qui est multilin´eaire continue. L"application est donc bienC1et sa diff´erentielle enuest donn´ee par v?→uk-1v+uk-2vu+···+uvuk-2+vuk-1

Remarque : SiEest complet,L(E)×est ouvert.

Ceci se d´emontre comme suit : si?h?<1, alors IdE+h?L(E)×avec (Id

E+h)-1:=∞?

n=0(-1)nhn.

Remarquons aussi au passage que

Maintenant, par "translation", tout ´el´ement deL(E)×a un voisinage ouvert contenu dansL(E)×: en fait, siu?L(E)×et?h?<1?u-1?, alorsu+h?L(E)×, et on v´erifie que Bien sˆur, cela est faux siEn"est pas complet : prendre par exemple pourh la multiplication par?TdansE:=R[T]. On poursuit maintenant l"exercice. On note?notre application et on montre que??(u)(h) =-u-1hu-1. Siu?L(E)×et?h?σ?Sn?(σ)?n i=1xij, on obtient bien ∂det/∂xij=? σ?Sn,σ(i)=j?(σ)x1σ(1)···ˆxiσ(i)···xnσ(n)=xadji.

Pour montrer que (det

?u)(h) = tr(uadh), il suffit, par lin´earit´e, de montrer cette ´egalit´e pourh= 1ij, et on a bien∂det/∂xij= tr(uad1ij) =xadji. La derni`ere assertion r´esulte du fait queu◦uad= det(u)Id et que la trace est lin´eaire. On peut aussi d´emontrer la formule directement. En effet, la formule don- nant la diff´erentielle d"une application continue nous donne imm´ediatement det ?(Id) = tr. On en d´eduit que |detu-det(u+h)-(detu)tr(u-1h)|?h? =|detu||(detId-det(Id+u-1h)-tr(u-1h))|?h? |detu|?u-1?|(detId-det(Id+u-1h)-tr(u-1h))|?u-1h? qui tend bien vers 0 avech. Exercice 7Sur un espace (vectoriel) euclidien, d´eterminer en quels points l"ap- plication?:M?→AM2est diff´erentiable et calculer sa diff´erentielle. Mˆeme question avec l"applicationf:M?→AM. On sait que l"application bilin´eaire continue (u,v)?→ ?u,v?a pour diff´erentielle en (u,v), l"application (h,k)?→ ?u,k?+?h,v?. En composant `a gauche avec l"ap- plication diagonaleu?→(u,u) on trouve l"applicationu?→ ?u?2qui a donc pour diff´erentielle enu, l"applicationh?→2?u,h?. Finalement,?s"obtient en compo- sant `a gauche avec l"applicationM?→?AMqui est affine et dont la diff´erentielle est l"identit´e. On trouve donc??(M)(h) = 2??AM,h?. On peut d´ecomposer l"applicationM?→AMenM?→AM2, suivie de x?→⎷x. Il suit que cette application est diff´erentiable en dehors deAet que sa diff´erentielle esth?→ ??AMAM ,h?. Cette application n"est pas diff´erentiable en Acar si on compose avec une applicationt?→A+tuavec?u?= 1, on trouve t?→ |t|qui n"est pas diff´erentiable en 0.

Exercice 8La fonctionf:R2→R,(x,y)?→x3yx

4+y2, prolong´ee par0`a l"ori-

gine, est elle continue, diff´erentiable,C1? Toute fonction rationnelle estC1sur son domaine de d´efinition car cette propri´et´e est stable par composition. Notre fonction est continue `a l"origine. En effet, comme on a toujoursa2+ b

2≥2ab, on voit que

x3yx 7 Soitu:R→R2,x→(x,x2). On a (f◦u)(x) =x2 et donc (f◦u)?=12 D"autre part,fa des d´eriv´ees partielles nulles `a l"origine carf(x,0) =f(0,y) =

0. Sif´etait diff´erentiable, on aurait doncf?(0,0) = 0 et alors (f◦u)?(0) =

f ?(0,0)◦u?(0) = 0. Donc la fonction est continue en 0 mais n"est pas diff´erentiable (bien qu"elle admette partout des d´eriv´ees partielles).

Exercice 9La fonctionf:R2→R,(x,y)?→xy3x

4+y2, prolong´ee par0`a l"ori-

gine, est elle continue, diff´erentiable,C1?

On calcule les d´eriv´ees partielles∂f/∂x=-y3(3x4-y2)(x4+y2)2et∂f/∂y=xy2(3x4+y2)(x4+y2)2

(et 0 `a l"origine). Celles-ci sont bien sˆur continues en dehors de l"origine. Elles le sont en fait partout. En effet on a et

Notre fonction est doncC1.

Exercice 10D´eterminer la plus grande partie deR2sur laquelle la fonction f:R2→R,(x,y)?→inf(x2,y2)est continue, diff´erentiable,C1. Il est clair que cette fonction est partout continue. Il est tout aussi clair qu"elle estC1en dehors des diagonalesx=±y. Aussi,fest diff´erentiable a l"origine car Enfin, poury?= 0 fix´e, la fonctionx?→inf(x2,y2) n"est pas diff´erentiable en x=±y. La fonction n"a donc pas de d´eriv´ees partielles en ces points et n"est donc pas diff´erentiable sur les diagonales en dehors de l"origine. Il reste a remarquer que la fonction ne peut pas ˆetreC1`a l"origine car, cette propri´et´e est une propri´et´e ouverte.

Exercice 11Montrer que la fonction

f:R2→R,(x,y)?→arctanx+ arctany-arctan(x+y1-xy) estC1sur son domaine de d´efinition et calculerf?. En d´eduire les valeurs de f. Bien sˆur, cette fonction est d´efinie en dehors de l"hyperbolexy= 1 et elle estC1car cette propri´et´e est stable par composition. Comme arctan?x=11+x2, un rapide calcul nous donne∂f/∂x=∂f/∂y= 0. On en d´eduit quef?= 0 et 8 donc quefest constante sur chaque composante connexe de son domaine de d´efinition. On trouve donc quef(x,y) =f(0,0) = 0 entre les branches et que f(x,y) =lim±∞f(x,x) =lim±∞(2arctanx-arctan2x1 +x2) =±2π/2-0 =±π sur les cot´es. Exercice 12D´eterminer les fonctionsf?C1(R>0×R)telles que x∂f/∂x(x,y) +y∂f/∂y(x,y) =?x 2+y2. On fait le changement de variablex=uety=uvavecu >0 et on n"´ecrit pas les variables. On a alors u∂f/∂u=u(∂f/∂x∂x/∂u+∂f/∂y∂y/∂u) = u∂f/∂x+uv∂f/∂y=x∂f/∂x+y∂f/∂y. Notre ´equation se r´e´ecrit doncu∂f/∂u=u⎷1 +v2, ou encore commeu?= 0, ∂f/∂u=⎷1 +v2, ce qui donnef=u⎷1 +v2+φ(v) avecφ?C1(R). On voit donc que les solutions sont lesf=?x

2+y2+φ(y/x) avecφ?C1(R).

Pour ˆetre tout `a fait rigoureux, il faut s"assurer quefest bien solution (ou argumenter du fait que l"on a unC1-diff´eomorphisme). Exercice 13D´eterminer les fonctionsf?C1(R>0×R)telles que x∂f/∂y(x,y)-y∂f/∂x(x,y) =kf(x,y). On fait le changement de variablex=rcosθety=rsinθavecr >0 et |θ|< π/2. On a alors ∂f/∂θ=∂f/∂x∂x/∂θ+∂f/∂y∂y/∂θ) = -rsinθ∂f/∂x+rcosθ∂f/∂y=-y∂f/∂x+x∂f/∂y.

Notre ´equation se r´e´ecrit donc∂f/∂θ=kf. On en d´eduit quef=φ(r)ekθavec

φ?C1(R). On voit donc que les solutions sont lesf=φ(x2+y2)ekarctan(y/x) avecφ?C1(R). Exercice 14D´eterminer les fonctionsf?C2(R2)telles que

2f/∂x2-3∂2f/∂x∂y+ 2∂2f/∂y2= 0.

On fait le changement de variablex=au+bv,y=cu+dv. On a donc

2f/∂u∂v=ab∂2f/∂x2+ (ad+bc)∂2f/∂x∂y+cd∂2f/∂y2.

on choisita,b,c,dtels queab= 1,ad+bc=-3,cd= 2, par exemplea=b=

1,c=-2,d=-1. On s"assure quead-bc= 1?= 0 pour pouvoir revenir. Notre

´equation devient donc∂2f/∂u∂v= 0 qui donnef=?(u) +ψ(v) avec?,ψ? C

1(R2). On trouveu=-x-yetv= 2x+y, ce qui donnef=?(x+y)+ψ(2x+y)

avec?,ψ?C1(R2) Exercice 15D´eterminer les fonctions der:=?x?2qui sont harmoniques sur R n\0. 9 On rappelle qu"une fonctionC2estharmoniquesi son laplacien est nul; et que lelaplaciendef:U?Rn→Rest Δ(f) =?n i=0∂2f/∂x2i. Siρ:=?x2i, on a toujours∂f/∂xi=f?(ρ)∂xi/∂ρ= 2xif?(ρ), et donc

2f/∂x2i= 2f?(ρ) + 2xif??(ρ)∂xi/∂ρ= 2f?(ρ) + 4x2if??(ρ).

Il suit que Δ(f) = 2nf?(ρ) + 4ρf??(ρ). On voit donc quefest harmonique ssi nf ?(ρ)+2ρf??(ρ) = 0, c"est `a diref?(ρ) =Kρ-n2 ou encoref(ρ) =aρ1-n2 +bsi n?= 2 etf(ρ) =alog(ρ)+bsin?= 2. En terme der, on trouvef(x) =ar2-n+b sin?= 2 etf(x) =alog(r) +bsin?= 2. Exercice 16Calculer le laplacien def?C2(C)en fonction dez,¯zet en d´eduire les fonctions de|z|qui sont harmoniques surC?. On a bien sˆurz=x+iyet ¯z:=x-iy. On en d´eduit facilement que

Δ(f) = 4∂2f/∂z∂¯z. En posantρ=|z|2, on voit que∂f/∂z=f?(ρ)¯zet donc

2f/∂z∂¯z=f"(ρ)ρ+f?(ρ). On retrouve comme ¸caf(z) =alog|z|+b.

Exercice 17Montrer que sif:U?Rn→Rest fonction deu(x1,...,xn), alorsΔ(f) =f"(u)?u??22+f?(u)Δ(u). En d´eduire les fonctions dex2+y2z 2quiquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18