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Cinetique
Operateur d'inertie
Papanicola
Lycee Jacques Amyot
23 septembre 2012Sommaire
Operateur d'inertie
Operateur d'inertie en 1 point
Denition
Matrice d'inertie
Determination du moment d'inertie par rapport a un axe quelconque
Theoreme de Huygens generalise
Changement de base
Proprietes et directions principales
Axes principaux d'inertie, base principale d'inertie
Solide avec un plan de symetrie
Solide avec deux plans de symetrie
Solide avec une symetrie de revolution
Solide plan d'epaisseur negligeable
Matrices d'inertie de quelques solides elementairesOperateur d'inertie
Operateur d'inertie en 1 point - DenitionDenition
On appelle operateur d'inertieI
O(S) au pointOd'un solideS
l'operateur qui a tout vecteur#ude l'espace associe le vecteurI
O(S)#u=Z
P2S # OP^#u^# OP dm:(1)L'operateur d'inertie permet de synthetiser l'ensemble des caracteristiques d'inertie d'un solide. Cet operateur est une fonction lineaire et peut ^etre represente par une matrice.Operateur d'inertie
Matrice d'inertie - Matrice d'inertie
Soit (O;#x;#y;#z), un repere, et (#x;#y;#z) une base, P, un point du solideS, avec# OP=x#x+y#y+z#z,#u=#x+#y+ #z, un vecteur.
Determinons :# OP^#u^# OP
OP^#u^# OP
=(x#x+y#y+z#z)^(#u^(x#x+y#y+z#z))
OP^#u^# OP
+y2+z2xy xz#x xy+z2+x2 yz#y xzyz+ x2+y2#z
Operateur d'inertie
Matrice d'inertie
En integrant
Z p2S#
OP^#u^# OP
dm= Z p2S y2+z2dmZ p2Sxydm Z p2Sxzdm#x Z p2Sxydm+Z p2S z2+x2dm Z p2Syzdm#y Z p2SxzdmZ p2Syzdm+ Z p2S x2+y2dm#zOperateur d'inertie
Matrice d'inertie
On peut mettre ce resultat sous la forme du produit d'une matrice nommeeI
O(S) et du vecteur#uI
O(S)#u=0
B
BBBBBBBBBB@+
Z p2S y2+z2dmZ p2SxydmZ p2Sxzdm Z p2Sxydm+Z p2S z2+x2dmZ p2Syzdm Z p2SxzdmZ p2Syzdm+Z p2S x2+y2dm1 C
CCCCCCCCCCA0
B
BBBBBBBBBB@
1 C
CCCCCCCCCCA
Cette matrice est caracteristique de la repartition de la matiere d'un solide autour d'un point (iciO) et dans une base donnee (#x;#y;#z). On peut pour chaque solide denir une matrice d'inertie.Operateur d'inertie
Matrice d'inertieI
O(S) =0
B
BBBBBBBBBB@+
Z p2S y2+z2dmZ p2SxydmZ p2Sxzdm Z p2Sxydm+Z p2S z2+x2dmZ p2Syzdm Z p2SxzdmZ p2Syzdm+Z p2S x2+y2dm1 C
CCCCCCCCCCA
O (#x;#y;#z)Operateur d'inertie
Matrice d'inertie
Remarques :
I La matrice d'inertie depend de la base et du point de calcul, il est donc important de les preciser; I
La matrice d'inertie est une matrice symetrique;
I
On nomme aussi cette matrice tenseur d'inertie.
Par convention, on pose :I
O(S) =0
@AFE F BD ED C1 A O (#x;#y;#z)=0 @I (O;#x)PxyPxy
PxyI(O;#y)Pxz
PxyPxzI(O;#z)1
A O (#x;#y;#z)
Operateur d'inertie
Matrice d'inertie - moment d'inertie
On reconna^t sur la diagonale de la matrice
Le moment d'inertie du solideSautour de l'axe (O;#x) :
A=I(O;#x)=Z
p2S y2+z2dm, Le moment d'inertie du solideSautour de l'axe (O;#y) :
B=I(O;#y)=Z
p2S z2+x2dm, Le moment d'inertie du solideSautour de l'axe (O;#z) :
C=I(O;#z)=Z
p2S x2+y2dmOperateur d'inertie
Matrice d'inertie - produits d'inertie
A partir de cette denition de la matrice d'inertie on nomme les trois autres termesproduits d'inertie, soit :
Le produit d'inertie par rapport plan (O;#x;#y) :
F=Pxy=Z
p2Sxydm;
Le produit d'inertie par rapport plan (O;#x;#z) :
E=Pxz=Z
p2Sxzdm; le produit d'inertie par rapport plan (O;#y;#z) :
E=Pyz=Z
p2Syzdm.Operateur d'inertie Determination du moment d'inertie par rapport a un axe quelconque
Le moment d'inertie autour de l'axe
O;# s'ecrit : I (S) =Z P2S #^# OP 2dm=Z P2S #^# OP #^# OP dm:
On sait que (produit mixte) :
#u(#v^#w) =#v(#w^#u)
On pose :
#u=#,#v=# OPet#w=#^# OP alors #^# OP#^# OP =# OP^#^# OP Le moment d'inertie peut se mettre sous la forme : I (S) =#R P2S # OP^~^# OP dm:Operateur d'inertie Determination du moment d'inertie par rapport a un axe quelconque On reconna^t, sous l'integrale, l'operateur d'inertie au pointOdu solideS. Donc I (S) =#I O()# (2) SiI
O(S) =0
@AFE F BD ED C1 A O Bet ) alors I (S) = (;; )0 @AFE F BD ED C1 A O B0 B 1 C A(3)
Operateur d'inertie
Theoreme de Huygens generalise
On recherche la relation entre la matrice d'inertie enAdu solideSet la matrice d'inertie enGle centre d'inertie du solide.I
A(S)#u=Z
S # AM^#u^# AM dmI
G(S)#u=Z
S # GM^#u^# GM dm soitI
A(S)#u=Z
S # AG+# GM ^#u^# AG+# GM dmI
A(S)#u=Z
S # AG^#u^# AG dm+Z S # AG^#u^# GM dm Z S # GM^#u^# AG dm+Z S # GM^#u^# GM dmOperateur d'inertie
Theoreme de Huygens generalise
Les 2 emeet 3emetermes sont nuls carZ
S# GMdm=#0I
A(S)#u=Z
S # AG^#u^# AG dm+Z S # GM^#u^# GM dm il reste I
Second terme :Z
S # GM^#u^# GM dm=I
G(S)~u(operateur
d'inertie enG). I
Premier terme :
dR S # AG^#u^# AG dm=m# AG^#u^# AG
D'ou le theoreme de Huygens generalise
I
A(S)#u=I
G(S)#u+m# AG^#u^# AG
(4)Operateur d'inertie
Theoreme de Huygens generalise
Determinons
# AG^#u^# AG avec#u= (;; ) et# AG= (a;b;c).
AG^#u^# AG
=0 @b2+c2abac ab a2+c2bc acbc a2+b21 A 0 1 A
On pose pour les matrices d'inertie en G et A :I
A(S) =0
@A AFAEA
FABADA
EADACA1
A A (#x;#y;#z)etI
G(S) =0
@A GFGEG
FGBGDG
EGDGCG1
A G (#x;#y;#z)
On deduit, dans la base (
#x;#y;#z), la relation entre ces matrices :
AAFAEA
FABADA
EADACA
A
AGFGEG
FGBGDG
EGDGCG
G +m b2+c2abac ab a2+c2bc acbc a2+b2Operateur d'inertie
Changement de base
Connaissant la matrice d'inertie du solideSen un pointAdans la baseB1, on se propose de determiner cette matrice en ce m^eme point dans la baseB2.
Matrice de Passage :
On a ppellePB1;B2, la matrice de passage de la base B
1a la baseB2cette matrice est constituee en colonnes
des coordonnees des vecteurs de la nouvelle baseB2ecrits dans la base d'origineB1. On l'appelle aussi matrice de changement de base, cette matrice est une matrice inversible. SoitI
A(S)B1etI
A(S)B2les matrices d'inertie d'un solideS
respectivement dans la baseB1et la baseB2, etPB1;B2la matrice de passage de la baseB1a la baseB2, on a alors :I
A(S)B2=P1
B 1;B2I
A(S)B1PB1;B2
avecP1 B
1;B2la matrice inverse dePB1;B2.
Operateur d'inertie
Proprietes et directions principales
La matrice d'inertie est une matrice symetrique, une simple etude mathematique de la matrice d'inertie nous permet de dire que : I
Les valeurs propres de la matrice sont reelles;
I Il existe une base orthonormee dans laquelle la matrice est diagonale. Il existe ainsi pour tout point A une base orthogonale de vecteurs propresB0=#x0;#y0;#z0 Dans cette base la matrice d'inertie du solideSau pointAest une matrice diagonale :I
A(S) =0
@A00 0 0B00
0 0C01
A
A;B0:Operateur d'inertie
Proprietes et directions principales
La baseB0=#x0;#y0;#z0
est appelee base principale d'inertie au point A. Les axes A;#x0 A;#y0 et A;#z0 sont les axes principaux d'inertie etA0,B0etC0les moments principaux d'inertie. I Pour tous les solides presentant des symetries dans la repartition des masses, il est facile de determiner les axes principaux en s'appuyant sur ces symetries. I Si le point d'ecriture est le centre d'inertie, on parle alors de base centraleet demoments centraux d'inertie; I Les moments centraux d'inertie sont minima.Operateur d'inertie
Solide avec un plan de symetrie#
z# x# yyxz zP 1P
2Lorsque le solide possede un
plan de symetrie, les produits d'inertie comportant la normale au plan de symetrie sont nuls.I
O(S) =0
@I
OxPxy0
P xyIOy0
0 0IOz1
A
O;BOperateur d'inertie
Solide avec deux plans de symetrie#
z# x# yyxz zP 1P
2Si un solide possede deux plans
de symetrie, en choisissant d'ecrire la matrice d'inertie en un pointOde la droite d'intersection des deux plans et dans une baseBrespectant cette symetrie, alors les trois produits d'inerties sont nuls.I
O(S) =0
@I Ox0 0 0IOy0
0 0IOz1
A O;B
Operateur d'inertie
Solide avec une symetrie de revolution#
z# x# ySi l'axe (O;#z) est un axe dequotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
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