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moment d'inertie du solide, à savoir la géométrie des masses, et ce dans un esprit pédagogique visant à Solides plans 25 II 5 Matrice principale d'inertie 26

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Géométrie des masses de solides homogènes Corps homogène de masse m Centre d'inertie Matrice d'inertie en ( ) , , , Oxyz G G G cylindre creux : rayon R 

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Un point G est centre d'inertie du système matériel Σ s'il vérifie la relation : 0)( = ∫ Σ∈ Calculons les termes de la matrice d'inertie : on pose c b a u = dans ),,,  

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Le moment d'inertie par rapport à un axe ∆ est la somme des moments d'inertie par rapport à deux plans orthogonaux qui se coupent en ∆ 4) Théorème de 

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Une grandeur tensorielle : la matrice d'inertie en un point (six nombres) Le centre d'inertie (noté G) d'un solide ou d'un ensemble de solides E est le barycentre 

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18 jan 2014 · Opérateur d'inertie et matrice d'inertie d'un solide Matrices centrales d'inertie de quelques solides élémentaires

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Déterminer la matrice d'inertie des solides homogènes suivants: a Cylindre creux de rayons R1, R2 (rayons intérieur et extérieur) de hauteur H et de masse M

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IUT CACHAN - GMP 2 Cours de Mécanique Mr Barreau Octobre 2002

ELEMENTS d'INERTIE d'un SOLIDE

Centre d'inertie - Centre de masse -centre de

*Définition : On montre en dynamique que le comportement d'un solide fait intervenir 3 grandeurs de géométrie des masses.

Une grandeur scalaire : la masse. (un nombre)

Une grandeur vectorielle : la position du CG (trois nombres). Une grandeur tensorielle : la matrice d'inertie en un point (six nombres). Le centre d'inertie (noté G) d'un solide ou d'un ensemble de solides E est le barycentre des masses.

Pour connaître la coordonnée de G :

E EE dmOPMdmdmOP

OG..1.

Ou, en projection :

Eg dmxmx.1 Eg dmymy.1 Eg dmzmz.1 étant la masse spécifique du système E au point P, d. *Cas Particulier des solides homogènes

Nature du

solide Masse spécifique Masse Centre d'inertie dldm. L dlm. LdlOP dldlOP OG L LL dsdm. S dsm. SdsOP dsdsOP OG S SS dvdm. V dvm. VdvOP dvdvOP OG V VV *Détermination de la position du centre d'inertie Choix pertinent des axes (si le solide admet un axe, ou un plan de symétrie alors G appartient à cet axe ou à ce plan. Choix du paramétrage (cartésien, polaire, cylindrique, sphérique) Domaines d'intégration. Bien choisir les bornes. *Théorème de Guldin la surface de révolution engendrée par une ligne plane de longueur L tournant autour d'un axe () situé dans son plan sans le traverser est égale au produit de la longueur de la circonférence décrite par le CG de la ligne par la longueur de la ligne elle même.

Eléments d'inertie d'un solide

*Définition dans le cas d'un point matériel (p):

Moment d'inertie de p/ (point ; Axe ; Plan) :

Produit d'inertie de p/(2 plans

1, 2) :

Avec d1 = distance de P à

1 et d2 = distance de

P à

*Définition dans le cas d'un solide (S): SP dmdIIISSOS. 2

Produit d'inertie de S/(2 plans

1, 2) :

SP dmddJ S.. 21
)2,1/( *Expressions analytiques kzjyixOP

Moment d'inertie de S /(point O) :

Moment d'inertie de S /(axe Ox) :

Moment d'inertie de S /(plan xOy)

Produit d'inertie de S /(plans xOy ; xoz) :

*Relations entre les éléments d'inertie

OySyOzSxOySOxSxOzSxOySOSzOxSyOzSxOySOSOz

SOySOxSIIIIIIIIII

*Matrice d'inertie d'un solide en O zyxO I SO E dmGP0. dmIp 21
..)(ddmJp SP dmzyxIOS).( 222
dmzyI SP

OxS).(

22
SP dmzIxoyS).( 2 SP dmyzJxozxoyS..),/( zyxOSSSSSSSSS dmyxdmyzdmxzdmyzdmzxdmxydmxzdmxydmzy I SO IUT CACHAN - GMP 2 Cours de Mécanique Mr Barreau Octobre 2002

Autre notation de la matrice d'inertie

zyxO

CDEDBFEFA

I SO si le solide admet des plans de symétrie : si xOy plan de symétrie, alors z varie de z 0 donc : 0. S dmxzE 0. S dmyzD si yOz plan de symétrie, alors x varie de x 0 donc : 0. S dmxzE 0. S dmxyF si xOz plan de symétrie, alors y varie de y 0 donc : 0. S dmxyF 0. S dmyzD d'autre part si le solide admet xoy comme plan de symétrie alors l'axe Oz est un axe principal d'inertie. Si Ox joue le même rôle que Oy alors A=B *Théorème de Huygens Relation entre les moments d'inertie d'un solide / 2 points (pt G et un pt qq) 2222
dmGSIcbamGSIoSI Relation entre les moments d'inertie d'un solide/2points qq. 22
)/(ddmIoSIoS Relation entre les moments d'inertie d'un solide / 2 axes parallèles 222
dmGxSIcbmGxSIOxSI

Les 2 axes sont quelconques

22
ddmSISI Relations entre les moments d'inertie d'un solide par rapport à deux plans 2 .)/()'/(dmSISI

Aucun des plans ne passe par G

22
ddmSISI Relation entre les produits d'inertie / plans parallèles deux à deux. abmyGzxGyJyOzxOzJcamxGzxGyJyOzxOyJcbm Théorème de Huygens généralisé à la matrice d'inertie ),(),(222222 xyzGxyzGxyzGXYZO cba

GOavecbamcbmcamcbmcambamcambamcbm

SGISOI

Moment d'inertie d'un solide

quelconque passant par un

On connaît la matrice d'inertie au

point O : );(SOI,

On veut calculer le moment d'inertie

par rapport à l'axe : )/(SI R cba u R zyx OP Le distance de P à peut être exprimée par : OPu SPSP dmOPudmdIS.)(. 22

OOOOOO

EacDcbFbacCbBaAIS...2...2...2...

222
autre expression : uSOIuSI ),(),(),(XYZOxyzGxyzG czZbyYaxX OP zyx GP cba GO

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Mr Barreau Octobre 2002

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