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Chap2 : Eléments d"inertie
EXERCICES de MECANIQUE
Professeur
: Franck BesnardCPGE PSI
1Exercice 5
: détermination de la matrice centrale d"inertie d"un cylindre (CORRECTION)De plus, les axes
(G,x)?? et (G,y)?? jouent le même rôle dans la répartition des masses. On en déduit que A=B.On a donc la matrice suivante :
G RA B 0 0
I (S) 0 B A 0
0 0 CChoix du paramétrage :
Nous utiliserons les coordonnées cylindriques r, q et z avec dV=rdrdqdzDomaine d"intégration :
r varie de 0 à R, z de -H/2 à H/2 et q de 0 à 2pCalcul :
H 2 R 423 H 0 0
2RC (x² y²)dm r .dr.d .dz .2 .H.4
p = + = r q = r p∫∫∫ ∫ ∫ ∫ avec 2M .R .Hr =p soit2MRC2=
oxGxz GxyI A (y² z²)dm y²dm z²dm I I B" C"= = + = + = + = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
oyGyz GxyI B (x² z²)dm x²dm z²dm I I A" C"= = + = + = + = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
ozGyz GxzI C (x² y²)dm x²dm y²dm I I A" B"= = + = + = + = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
Les plans [Gxz] et [Gyz] jouent le même rôle pour la répartition de la matière. On peut donc
en déduire que A"=B"=C/2 et par conséquent queGxyC CA I C"2 2= + = +
H 2 R 32Gxy H 0 0 2 M H R² MH²I C" z²dm z².rdr.d .dz .2 . .R²H 12 2 12 p = = =r q = p =p∫∫∫ ∫ ∫ ∫