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Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Page 1/6 23/01/2012 - MODELISATION D'UN MECANISME -

LOIS ENTREE-SORTIE EN POSITION

ET EN VITESSE

LOIS ENTREE-SORTIE PAS FERMETURE GEOMETRIQUE

Exercice 1 : MICROMOTEUR DE MODÉLISME

Question 1 : Donner le paramètre d'entrée et le paramètre de sortie du dispositif de transformation de mouvement.

Paramètre d'entrée :

()xt (position linéaire du piston 3 par rapport au bâti 0)

Paramètre de sortie :

()t (position angulaire du vilebrequin 1 par rapport au bâti 0) Question 2 : Déterminer, à l'aide d'une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position

()xf du dispositif de transformation de mouvement.

Fermeture géométrique :

0OO OA AB BO

G

Donc :

120

0ex Lx xx

Or

100200

cos sin cos sinxxyetx xy L'équation vectorielle obtenue par fermeture géométrique permet d'obtenir les équations scalaires suivantes :

En projection sur

0 .cos .cos 0 (1)xe L X

En projection sur

0 .sin .sin 0 (2)ye L

On cherche une loi entrée-sortie de type

()xf, il faut donc éliminer (paramètre intermédiaire) de ces deux relations... Pour cela, à partir des deux relations obtenues, on : - isole les cosinus et sinus du paramètre angulaire dont on veut se débarrasser ; - on élève au carré ; - on utilise la relation de trigonométrie 22
cos sin 1 .

Ce qui nous donne dans notre cas :

(1) cos cos (2) .sin .sinLXe Le

222222 222

(1) (2) cos .sin ( cos ) .sinLLXee

Donc :

222 2 222

.sin ( cos ) .sin ( cos )Le Xe Le Xe ( car Le)

Ce qui nous donne :

222
cos .sinXe L e (car 0X est toujours )

Question 3 : Retrouver ce résultat à l'aide du théorème d'Al-Kashi (Pythagore généralisé).

Théorème d'Al-Kashi :

Corrigé TD 16 - Lois entrée-sortie en position et en vitesse CPGE 1

ère

année Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Page 2/6

23/01/2012

22 2

2cosLeX eX

222

02cosXeX e L

22 22

4cos4( )0eeL ( car Le)

Donc :

22 22

2cos 4 cos 4( )

2ee eLX

22 22
cos cos ( )Xe e e L (car 0X est toujours ) Or :

2 2 22 2 2 2 222

cos sin cos sineeeeee

Donc :

2 cosXe e 22 2
sin (ee 2222
)cos .sinLXe Le

On retrouve bien la même loi entrée-sortie.

Question 4 : Déterminer la cylindrée du micromoteur. 22 3

1, 2 2, 2 9, 9 5

piston piston

Cyl S c R c cm

Question 5 : Déterminer, à l'aide du résultat de la question Q2, la loi entrée-sortie en vitesse

(,)xf . En déduire le vecteur vitesse 3/0B V en fonction de ,,Lete.

En dérivant la loi entrée- sortie en position, on obtient une loi entrée-sortie en vitesse :

2 222

2cossin(sin )

2.sine

Xe Le

Rappel :

1 nn unuu

Or on sait que

3/0 0B

VXx

Donc :

2 3/0 0 222
cos sin(sin ) .sin B eVe x Le

Exercice 2 : POMPE À PALETTES

Question 1 : Dessiner le graphe des liaisons de ce système. 3quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3