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Cours ; Applications fermé ou triangle des forces fermé ou dynamique - funiculaire), et Statique graphique - Méthode de la dynamique - funiculaire

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Pour trouver graphiquement la résultante de ces trois forces, on doit tracer un dynamique et un funiculaire Tracé du dynamique: Le dynamique permet d' obtenir 

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II - CONSTRUCTION DU DYNAMIQUE ET DU FUNICULAIRE III - DETERMINATION GRAPHIQUE DE LA RESULTANTE D'UN SYSTEME DE FORCES 

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Cela posé, considérons le polygone dynamique f\f \f if if ^e s f°rces ci-dessus et supposons que la figure S soit un polygone funiculaire correspondant à

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Sur le polygone (ou dynamique): ❍ - TRACER (à l'échelle THEOREME : Pour tout solide en équilibre les cotés extrêmes du funiculaire ou ligne de fermeture) 

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FUNICULAIRE Le Funiculaire se trace sur la figure Le Dynamique se trace à coté Ordre des tracés : Tracé du dynamique ➢ Choix d'une échelle pour le tracé  

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9 mar 2019 · April 13th, 2019 - 5 Tracé Du Dynamique Funiculaire Pour tracer le Cours Dynamique Inertie Cours12 Dynamique ppt Effet d inertie ppt 

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Funiculaire : figure définissant la position géométrique des forces • Dynamique On trace la force P sur le dynamique ainsi que le funiculaire correspondant

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Et me voici plongé dans un cours de statique du solide : j'y retrouve l'histoire du comment on procède par la méthode du funiculaire (du latin funiculus : petite a) On choisit un pôle, p' près du dynamique et on trace les droites (P'A'), (P'B') 

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L'objectifdececha pitrees tderappelersuccinctemen tlesnotions mathémat iquesnécessairesàlacompréhensiondelasuitedececours.CHAP.1:RAPPELSDECALCULSI. VECTEURSOnassoci eàl'espaceponctuele uclidi enàtroisdimensionsE,l' espacevectorielàtroisdimensionsEsurlecorpsdesréelsℝE3→E3(A,B,C)→ (V!,V!,V!)Onassocieaucoupleordonnéedepoints(A,B)deE2unélémentAB ∈E définissantunvecteurlibre.II. OPERATIONSSURLESVECTEURSA. ProduitScalaireE→ ℝ!, ! → ! .! =!Dansunebase(!,!,!),si!= !!.!+ !!.!+ !!.!et! = !!.!+!!.!+ !!.!Alorsonaura:! .! = !!.!!+!!.!!+!!.!!

Remarque:LerésultatduproduitscalairededeuxvecteursestunSCALAIRE. Propriétés:• Commutativité:! .! =! .! • Distributivitéàdroiteetàgauche:! .!+!= ! .!+ ! .! et !+!.!=!.!+!.! • Multiplicationparunréel:! ! .! =! ! .! = !.( !! )• Normes:!= ! .! = !!!+!!!+!!!Calculpratiqued'unproduitscalaire:Sinousdéfinissonsl'angle!=! ,! ,!"#$% ! .! = ! !!"#!B. ProduitVectorielE2→E(!, ! )→! ∧ ! =!Dansunebase(!,!,!),si!= !!.!+ !!.!+ !!.!et! = !!.!+!!.!+ !!.!Alorsonaura:! ! =!!!!-!!!!! +( !!!!-!!!!) ! +!!!!-!!!!!MéthodedeCalculCalculàeffectuer:!!!!!!∧ !!!!!!

Premièrecomposante:Onbarrelapremièreligneetoncalculeledéterminant2*2restant:!!!!!!∧ !!!!!!→!!!!!!!!= !!!!-!!!! → !!!!!!∧ !!!!!!= !!!!-!!!!?? Deuxièmecomposante:Onbarrelasecondeligneetoncalculel'opposédudéterminant2*2restant:!!!!!!∧ !!!!!!→-!!!!!!!!= -(!!!!-!!!!) → !!!!!!∧ !!!!!!= !!!!-!!!!-(!!!!-!!!!)?Troisièmecomposante:Onbarrelatroisièmeligneetoncalculeledéterminant2*2restant:!!!!!!∧ !!!!!!→!!!!!!!!= !!!!-!!!! → !!!!!!∧ !!!!!!= !!!!-!!!!-(!!!!-!!!!)!!!!-!!!! Remarque:Lerésultatd'unproduitvectorieldedeuxvecteursestuneVECTEURperpendiculaireauxdeuxautresvecteurs.Propriétés:• Anticommutativité:!∧!= -!∧!• Distributivitéàdroiteetàgauche: !∧!+!=!∧!+!∧! et!+ !∧!=!∧!+!∧!• Multiplicationparunréel:! ! ∧! =! ! ∧! =!∧(!! )

Calculpratiqued'unproduitscalaire:Sinousdéfinissonsl'angle!=! ,! ,!"#$% ! ∧! = ! !!"#!! !" !",!",!"formeuntrièdredirect,quelquesoitlepointO.• Calculsurlesvecteursd'unebaseorthonorméedirecte:!∧!=!,!∧!=!,!∧!=!!∧ != !∧!= !∧!=0C. ProduitMixteE3→ℝ(!, !, !)→! .( ! ∧!)=!Remarque:LerésultatduproduitmixtedetroisvecteursestunSCALAIRE.Propriétés:!.! ∧ !=0 ,sil'undesdeuxvecteursestunedescombinaisonslinéairesdesdeuxautres.!.! ∧ != !.! ∧ !=!.! ∧ !

III. NotionssurlestorseursA. DéfinitionUntorseurestunchampdevecteurs,antisymétriquedeE.Untorseur!!enunpointAestdéfinipar:UnvecteurlibreRappeléRésultantedutorseurUnvecteurM! dépendantdupointAouilestexprimé,appeléMomentdutorseuretvérifiant:∀ !,! ,!!= !!+ ! ∧!" Remarque:Larésultantedutorseurestindépendantedutorseurdupointestdéfiniuntorseur.B. Applicationdestorseursàlareprésentationd'unchampdeforce.Soitunchampdeforcedéfinidansl'espaceàtroisdimensions,debaseorthonorméedirecte(ı,ȷ,k)ParladonnéedeforceFappliquéeenunpointA(2,3,0).!= ! .cos!!+ ! .sin!!ou!(!cos! ,!sin!,0)LemomentdelaforceFensonpointd'applicationAestnuld'où: M!!=0Sionveut calculerlemomentdelafor ceM!!aupointB(2,1,0),onobtient M!!=-2cosθk(intensitédelaforcefmultipliéparlebrasdelevier2cosθ danslesensnégatif).Enappliquantlanotiondetorseur,onpeutdéfinirletorseurdeforceF!aupointA,associéeàFpar:LarésultantedutorseurdeforceF!égaleàlaforceFLemomentenAdutorseurF! égalàM!!=0

LemomentaupointFestdéfiniparlaformuledetransportdonnéeplushautsoit:!!!=!!!+!∧ !"= 000∧ !cos!!sin!0∧ 0-20= 00-2!cos!ou: !!!=-2cos!!Remarques:• Lanotiondetorseurpermetdoncdeparlerglobalementd'uneforceetdesonmomententoutpointdel'espace.• Lesdeuxvecteursdéfinisdansuntorseursontdenaturesdifférentes.Pouruntorseurdeforce,levecteurrésultantestuneforceayantdescomposantesdontlesunitéssontdes(N),alorsquelemomentenunpointestunmomentdontlescomposantesontdesunitésen(N.m).• Attentionquandl'ondemandededéfiniruntorseur,ilestnécessairededonneruneréponsepourlarésultanteetuneréponsepourlemoment.IV. ChangementsdebaseSoientdeuxbasesorthonorméesdirectesb! ( ı!,ȷ!,k! )etb!( ı!,ȷ!,k!)ettellesquek!= k!A. ProjectiondesvecteursdebasesSionexprimelesvecteursdelabaseb!( ı!,ȷ!,k!)dans b0 i0,j0,k0 ,onobtient:• !!=cos!!!+ sin!!!• !!=-sin!!!+ cos!!!• !!= !!Inversement,sionexprimelesvecteursdelabase!! !!,!!,!! dans !!( !!,!!,!!),• !!=cos!!!- sin!!!• !!=sin!!!+ cos!!!• !!= !!

B. Changementsdebasesd'unvecteurquelconqueSoit!(!,!,!)!!unvecteurexprimédanslabasedans !1( !1,!1,!1).L'expressionde!danslabase!! !!,!!,!! sera:!=!.!!+!.!!+!.!!=!cos!!!+ sin!!!+! (-sin!!!+ cos!!!)+!.!!=!(cos!-! sin!). !!+(!.sin!+!cos!).!!+ !.!!d'où:! (!.cos!-! sin!, !sin!+ cos!, ! )!!V. Relationsdetrigonométriecos!2+ != - sin!sin!2+ != + !"#cos!+ != - cos!sin!+ != - sin!cos3!2+ != sin!sin3!2+ != - cos!cos!2- != sin!sin!2- != cos!cos!- != - cos!sin!- != sin!cos3!2- != - sin!sin3!2- != - cos!

Aprèsunrappelsurlesexpressionsdestorseursassociésauxdifférentstypesd'actionsmécaniques,nousintroduironsleprincipedelastatiquepuislesméthodesderésolutiond'unproblèmedestatique.CHAP.2:STATIQUEI. SOLIDESETSYSTEMESMATERIELSSystèmematériel:Ensembledematièredontlesatomespeuventêtredemêmenatureounon,déformableounon,compressibleouincompressible.Solide:Ensembledematièredontlesatomessontdemêmenature,géométriquementparfait,indéformableethomogène.II. ACTIONSMECANIQUESRelativesausolideréel.A. Actionsmécaniquesàdistance• Poidsoupesanteur• AimantationB. Actionsmécaniquesdecontact1. Chargeconcentréeex:Billesurunplan.L'actionduplansurlabillepeutêtrereprésentéeparuneforce!!/!

2. Chargelinéaireex:Cylindresurunplan.L'actionduplansurlecylindrepeutêtrereprésentéeparuneforcelinéique(forcerépartielelongd'uneligne)!!/!(N.m-1).Silachargeestuniforme,alorsl'ensembledelachargelinéiqueestéquivalenteàuneforcesituéeaucentredelalignedecontact3. Chargesurfaciqueex:BoitesurunplanL'actionduplansurlaboitepeutêtrereprésentéeparunefor cesurfacique(forcerépartiesurunesurface,équivalenteàunepression)!!/! (N.m-2).

Silachargeestuniforme,alorsl'ensembledelachargesurfaciqueestéquivalenteàuneforcesituéeaucentredelasurfacedecontact.C. Actionsmécaniquesexercéessurdesliaisonsusuellesparfaites• Uneliaisonparfaiteestuneliaisonsansfrottement.• L'ensembledesactionsmécaniquesquis'exercentàl'intérieurd'uneliaisonpeutêtrereprésentéparuntorseurrésultantexpriméaucentredelaliaison.NomdelaliaisonSymbolisationTorseurdesactionsdusolide2surlesolide1RésultanteMomentenOLiaisonencastrement!!"!!"!!"!!"!!"(!)!!"!!"!!"Liaisonpivotd'axeOx!!"!!"!!"!!"!!"(!)0!!"!!"Liaisonglissièred'axeOx!!"0!!"!!"!!"(!)!!"!!"!!"Liaisonpivotglissa ntd'axeOx!!"0!!"!!"!!"(!)0!!"!!"

Liaisonsphérique!!"!!"!!"!!"!!"(!)000Appuiplansurplan(O,x,y)!!"00!!"!!"(!)!!"!!"0Linéairerectiligne d'axeOxsurplan(O,x,y)!!"00!!"!!"(!)0!!"0Linéaireannul aired'axeOx!!"0!!"!!"!!"(!)000Liaisonponctuellesurplan(O,y,z)!!"!!"00!!"(!)000Liaisonglissièrehélicoïdaled'axeOx!!"!!"!!"!!"!!"(!)!!"!!"!!"!!"=!.!!"

III. PRINCIPEDELASTATIQUELeprincipedelastatiqueestuneapplicationparticulièreduprincipefondamentaldeladynamiquequenousaborderonsdanslechapitresurladynamique.A. EnoncéUnsolideindéformableenéquilibresousl'actiondenactionsextérieuresresteenéquilibresilasommedestorseursassociésàcesactionsestégaleautorseurnul,soit!!=!!!!!! 0!!(0)=!!!!!! 0 ,∀ !Remarque:Laprojectiondecesdeuxrelationsvectoriellespermetd'obtenirsixéquationsdansl'espaceettroiséquationsdansunplan.B. PrincipedesactionsmutuellesPourdeuxsolides(0)et(1)encontact,l'actionexercéeparlesolide(1)surlesolide(0)estopposéeàl'actionexercéeparlesolide(0)surlesolide(1):!!/!= -!!/!

IV. METHODESDERESOLUTIONA. Organigrammedelaméthode

B. CasParticuliers1. SolidessoumisàdeuxforcesextérieuresSoitunsolide(0)soumisàdeuxforcesextérieures!!/!et!!/!SoitPlepointd'applicationdelaforce!!/!.D'aprèsleprincipedelastatique,l'équilibredusolide(0)setraduitpar:!!/!+!!/!=0!!!/!P + !!!/!P=0Théorème:Siunsolideestenéquilibresousl'actiondedeuxforcesextérieures,alorscesdeuxforcessontégalesetopposées.Leurdirectionpasseparlesdeuxpointsd'applicationdesforces2. Solidessoumisàtroisforcesextérieuresnon-parallèles.Soitunsolide(0)soumisàtroisforcesextérieures!!/!,!!/!et!!/!.Onsupposeparfaitementconnueslaforce!!/!,ainsiqueladirectionde!!/!.SoitIlepointd'intersectiondesdirectionsdesforces!!/!et!!/!D'aprèsleprincipedelastatique,l'équilibredusolide(0)setraduitpar:!!/!+!!/!+ !!/!=0!!!/!P + !!!/!P +!!!/!P =0LepointIappartientdoncaussiàladirectionde!!/!Théorème:Unsolidesoumisàl'actiondetroisforcesextérieuresnonparallèlesestenéquilibre,si:• Lasommedestroisforcesestnulle• Lestroisforcessontconcourantesenunpoint.3. Solidessoumisàl'actiond'aumoinsquatreforcesextérieures• Casdesforcesnoncoplanaires:Résolutionanalytique• Casdesforcescoplanaires:Résolutiongraphiqueouanalytique

V. STATIQUEGRAPHIQUELastatiquegraphiqueestuneméthodederésolutionrapideetsanscalculpourlescasplans.A. Déterminationgraphiquedelarésultanted'unsystèmedeforcesExemplesurunsystèmedetroisforcesOnrecherchelarésultantedestroisforcesquidoitvérifierentouspointsOdel'espace: != !!+!!+ !! !!O= !!!O + !!!O +!!!O Pourtrouvergraphiquementlarésultantedecestroisforces,ondoittracerundynamiqueetunfuniculaire.Tracédudynamique:Ledynamiquepermetd'obtenirletracédelarésultantedestroisforces.Ilvérifiel'équation: != !!+!!+ !!

Onconnaîtalorsparfaiteme ntl'intensitéet ladirectiondecetterésultante,maisonignoreoùcetterésultantagitsurlesolide(0).Pourtracerledynamique,ilsuffitdemettreboutàbouttouteslesforces.Onobtientlarésultantedesforcesenpartantdel'originedelapremièreforceetenarrivantsurl'extrémitédeladernière.Tracédufuniculaire:Lefuniculairepermetd'obtenirlapositiondelarésultantedestroisforces.Ilvérifiel'équation: !!0= !!!0 + !!!0 +!!!0Pourtracerlefuniculaire,oncommencepartracersurledynamique,lesrayonspolaires.OnchoisitunpointquelconquePappelépôleetonreliecepointaux extrémit ésdesdifférents vecteurs.Chaquesegmentainsitracéestunrayonpolaire.Onlesrepèreparunchiffre.Lefuniculaireestensuitetracésurleschémadusolide.Ontraceuneparallèle0'aurayonpolaire0.Al'intersectionde0'etdeladirection∆1de !!,ontraceuneparallèle1' aurayo npolaire1jusqu'à l'intersectionavecladirection∆2de !!.

Al'intersectionde1'etdeladirection∆2de !!.ontraceuneparallèle2'aurayonpolaire2j usqu'àl'intersectiona vecla direction∆3de !!.Al'intersectionde2'etdeladirection∆3de !!, ontraceuneparallèle3'aurayonpolaire3.L'intersectionIdesdroites0'et3'estunpointdeladroited'actiondelarésultante!

B. Equilibred'unsystèmematériel1. Equilibred'unsystèmematérielsoumisàdesforcesparallèlesSoitunsystèmematérielenéquilibresoumisàtroisforcesparallèles!!connue,!!Et!!inconnues.Lesystèmeétantenéquilibre,leséquationssuivantessontvérifiéesentouspointsOdel'espace: != !!+!!+ !! !!O= !!!O + !!!O +!!!O Tracédudynamique:Ledynamiquevérifiel'équation: !!+!!+ !!=0Pourtracerledynamique,ilsuffitdetracerlaforce !!onvoudraittracerlaforce !!auboutde !!,puis !! auboutde !!.Lesystèmeétantàl'équilibre,larésultantedestroisforcesestnulleetdoncl'extrémitéde !!correspondàl'originede !!.Onditalorsqueledynamiqueestfermé.Leproblèmequisepose estquel'onne

connaîtpaslesintensitésde !!.et !! .Tracédufuniculaire:Lefuniculairepermetd'obtenirl'orientat iondusegment3'etdoncdedéterminerlerayonpolaire3,correspondantaupointdepassagede!!à!!.Onpeutalorsendéduiresurledynamiquelesintensitésde!!et!!.Lerayonpolaire2setrouveentre!!et!!,ontracedonclesegment2'entrelesdirections∆1et∆3.Lerayonpolaire1setrouveentre!!et,ontracedonclesegment1'entrelesdirections∆1et∆2.Lesegment3',appelélignedefermetureestobtenuenreliantlepointd'intersectionde1'et∆2,aveclepointd'intersectionde2'et∆Onreportealorssurledynamique,lerayonpolaire3,parallèleà3'aupointP.Onobtientlepointcorrespondantàlalimitedesvecteurs!!et!!.

2. Equilibred'unsystèmematérielsoumisàdesforcesconcourantesSoitunsystèmematérielenéquilibresoumisàtroisforcesconcourantes!!,!! et!!.Lesinconnuessontl'intensité́de!!,l'intensité́etladirectionde!!.OnconnaîtA3,lepointd'applicationde !!.Lesystèmeétantenéquilibre,leséquationssuivantessontvérifiéesentouspointsOdel'espace:Demêmequedanslesparagraphesprécédents,ondoittracerundynamiqueetunfuniculaire.Tracédudynamique:Ledynamiquevérifiel'équation: != !!+!!+ !! !!O= !!!O + !!!O +!!!O

Tracédudynamique:Ledynamiquevérifiel'équation: !!+!!+ !!=0Pourtracerledynamique,ilsuffitdetracerlaforce !!.Onde vraittracerlaforce!!aubout de !!,puis!!aubout de!!.Les ystèmeéta ntàl'équilibre,larésultantedestrois for cesestnulleetdoncl'e xtrémitéd e!!correspondàl'originede !!.Ledynamiqueestfermé.Leproblèmequiseposeestquel'onneconnaîtpaslesintensitésde!!et!!.Ladirectionde!!étantconnue,ilr esteàdéterminerlepoi ntcorrespondantàl'extrémitéde!!.etdoncàl'originede!!.

Tracédufuniculaire:Lefunicu lairepermetd'obtenirl'orientationdusegment3'etdoncdedéterminerlerayon polaire3.Onpeut alorsendéduiresurledynamiquelesintensitésde!!et!!.Lerayonpolaire1se trouveentre!!et!!,ontracedonclesegment1'entrelesdirectionsdirection∆3estinconnuemaisonconnaîtunpointdecettedirection:le∆1et∆3.Lepointd'applicationA3de!!.Lerayon polaire2setrou veentre!!et!!,ontracedonclesegment2'entreles direction s∆1et∆2.Lesegment3',lignedefermeture,estobtenuenreliantlepointA3aupointd'intersectionde2'et∆2.

Onreportealorssurledynamique,lerayonpolaire3,parallèleà3'aupointP.OnobtientlepointcorrespondantàlalimitedesvecteursF!etF!.Onpeut alorstrace rlesdeuxforcesF!etF!.Remarque:Onpeutégalementrésoudreceproblèmeenutilisantlethéorèmed'unsolidesoumisàtroisforcesnonparallèles,concourantesenunpoint.OnobtientalorsladirectiondeF!qu'ilsuffitdereporteràl'originedeF!.pourtrouverlepointrecherché.Cetteméthoden'estutilisablequelorsquelepointIdeconcouranceestaccessible.

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