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Z ZZZZZ

Exo7Exercices de mathématiques

Les exercices suivants sont tous tirés du site exo7, voir http://exo7.emath.fr/search.php Ils accompagnent le " Cours concis de mathématiques » de Pierre Guillot, disponible sur la page web de l"auteur. Les énoncés apparaissent ci-dessous dans l"ordre où ils sont référencés dans le cours. Sur le site on trouvera beaucoup d"autres exercices, dont certains sont corrigés, et parfois même en vidéo. On utilise une double numérotation des exercices. La première n"est pas sur- prenante puisqu"elle part de 1, enchaîne avec 2 puis 3, et ainsi de suite. Les indications et les corrections, données plus loin, ont dû se faire avec cette numérotation-là. Le deuxième numéro donné, entre parenthèses avec l"au- teur de l"exercice, est le même que sur le site exo7 et c"est aussi le numéro utilisé dans le cours; c"est un absolu et il ne devrait pas changer à l"avenir. Si de nouveaux exercices sont ajoutés sur exo7, ou dans une version ultérieure du livre, on pourra toujours faire référence à ce numéro. Ci-dessous on dresse une table donnant la correspondance entre les deux numérotations, à toutes fins utiles. Le plus rapide pour trouver un énoncé reste de se rendre sur exo7 et d"utiliser le " cadre de saisie ». pg

Table des matières

1 Les énoncés

3

1.1 Ensembles

3

1.2 Nombres

6

1.3 Polynômes

8

1.4 Suites

9

1.5 Matrices

12

1.6 Continuité

14

1.7 Déterminants

16

1.8 Compacité

17

1.9 Dérivées

17

1.10 L"exponentielle

19

1.11 Espaces vectoriels

20

1.12 Formules de Taylor

23

1.13 Applications linéaires

26
1

1.14 Intégrale de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.15 Fractions rationnelles

31

1.16 Diagonalisation

33

1.17 Équations différentielles

36

2 Quelques indications

38

3 Quelques corrections

43
Voici la table des correspondances entre la numérotation du cours, qui est aussi celle d"exo7, et l"ordre d"apparition dans ce document : exo7noexo7noexo7noexo7noexo7noexo7no1 27375 35677 68954 1501794 733401 166

27 29379 39698 79956 1462090 1653404 167

31 30380 40699 80959 1512095 1644019 120

42 93387 41700 81970 1392098 1564054 178

43 94401 36701 82974 1402099 1584055 179

44 95412 37703 83979 1122100 1534064 180

45 96423 38705 84980 1162433 1435127 28

110 10456 25709 85981 1132467 1705164 102

112 11461 26715 88984 1092468 1735165 103

124 21470 23717 89997 1102580 1745188 134

125 9472 24718 901013 1112621 535259 145

126 3477 22721 911040 542740 1415426 121

127 4505 44808 1591041 552741 1425427 122

130 2507 46809 1601042 562750 615429 123

132 12519 43810 1611043 572762 1715430 124

133 5524 45812 1551045 582763 1725432 125

135 6563 47824 1621134 742764 1755433 126

138 7568 48824 1621136 762765 1765434 127

141 8569 49886 991144 772766 1775437 128

143 1570 52888 1001148 752773 635438 129

185 16572 50893 1011171 592775 625439 130

186 17574 51900 1041173 602781 1075440 131

187 13639 70908 1051221 862939 975441 132

190 14642 64914 1061223 872945 315446 154

193 18645 67920 1361237 1173151 325524 92

194 19646 71923 1371239 1183152 335565 138

199 20649 65929 1331240 1193317 1145567 108

201 15670 72934 1471605 1693318 1155627 168

364 34671 66941 1481716 983351 1526865 157

370 42675 69943 1491763 783400 1446871 135

2

Les énoncés

1.1

Ensem bles

Exercice 1(143, ridde, 1999/11/01).

Donner la liste des éléments deP(P(f1;2g)).

Exercice 2(130, cousquer, 2003/10/01).

SoitEun ensemble ànéléments. Quel est le nombre d"éléments deEp?

Quel est le nombre de parties deEp?

Exercice 3(126, cousquer, 2003/10/01).

Démontrer les relations suivantes :

A[(B\C) = (A[B)\(A[C)etA\(B[C) = (A\B)[(A\C):

Exercice 4(127, cousquer, 2003/10/01).

Montrer que siFetGsont des sous-ensembles deE:

(FG()F[G=G)et(FG(){F[G=E):

En déduire que :

(FG()F\G=F)et(FG()F\{G=;):

Exercice 5(133, cousquer, 2003/10/01).

Soit un ensembleEet deux partiesAetBdeE. On désigne parA4B l"ensemble(A[B)n(A\B).Dans les questions ci-après il pourra être commode d"utiliser la notion de fonction caractéristique. 1.

Démon trerque A4B= (AnB)[(BnA).

2. Démon trerque p ourtoutes les partie sA,B,CdeEon a(A4B)4C=

A4(B4C).

3. Démon trerqu"il existe un eunique partie XdeEtelle que pour toute partieAdeE,A4X=X4A=A. 4. Démon trerque p ourtoute part ieAdeE, il existe une partieA0deE et une seule telle queA4A0=A04A=X.

Exercice 6(135, cousquer, 2003/10/01).

On définit les cinq ensembles suivants :

A

1=(x;y)2R2; x+y <1

A

2=(x;y)2R2;jx+yj<1

A

3=(x;y)2R2;jxj+jyj<1

A

4=(x;y)2R2; x+y >1

A

5=(x;y)2R2;jxyj<1

3

1.Représen terce scinq ensem bles.

2. En déduire une démonstration géométrique de (jx+yj<1etjxyj<1), jxj+jyj<1:

Exercice 7(138, ridde, 1999/11/01).

SoientEun ensemble etA;B;Ctrois parties deEtelles queA[B=A[C etA\B=A\C. Montrer queB=C.

Exercice 8(141, ridde, 1999/11/01).

Est-il vrai queP(A\B) =P(A)\ P(B)? EtP(A[B) =P(A)[ P(B)?

Exercice 9(125, cousquer, 2003/10/01).

AetBétant des parties d"un ensembleE, démontrer les lois de Morgan : {A[{B={(A\B)et{A\{B={(A[B):

Exercice 10(110, gourio, 2001/09/01).

Nier la proposition : "tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans".

Exercice 11(112, bodin, 1998/09/01).

Nier les assertions suivantes :

1. tout triangle re ctanglep ossèdeun angle dro it; 2. dans toutes les écuries, tous les c hevauxson tnoir s; 3. p ourtout en tierx, il existe un entierytel que, pour tout entierz, la relationz < ximplique le relationz < x+ 1;

4.8" >09 >0 (jx7=5j< ) j5x7j< ").

Exercice 12(132, cousquer, 2003/10/01).

SoitAune partie deE, on appelle fonction caractéristique deAl"applica- tionfdeEdans l"ensemble à deux élémentsf0;1g, telle que : f(x) =(

0six =2A

1six2A

SoitAetBdeux parties deE,fetgleurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d"ensembles que l"on déterminera : 1.1f. 2.fg.

3.f+gfg.

Exercice 13(187, gourio, 2001/09/01).

Donner des exemples d"applications deRdansR(puis deR2dansR) injective et non surjective, puis surjective et non injective. 4

Exercice 14(190, ridde, 1999/11/01).

Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives?

1.f:N!N;n7!n+ 1

2.g:Z!Z;n7!n+ 1

3.h:R2!R2;(x;y)7!(x+y;xy)

4.k:Rn f1g !R;x7!x+1x1

Exercice 15(201, bodin, 1998/09/01).

On appelledemi-plan de Poincarél"ensemblePdes nombres complexesz tels queImz >0, etdisque unitél"ensembleDdes nombres complexesztels quejzj<1. Démontrer quez7!ziz+iest une bijection dePsurD.

Exercice 16(185, bodin, 1998/09/01).

Soientf:R!Retg:R!Rtelles quef(x) = 3x+ 1etg(x) =x21.

A-t-onfg=gf?

Exercice 17(186, cousquer, 2003/10/01).

Soit l"application deRdansR,f:x7!x2.

1. Déterminer les ensem blessuiv ants: f([3;1]),f([2;1]),f([3;1][ [2;1])etf([3;1]\[2;1]). Les comparer. 2. Mêmes questions a vecles ensem blesf1(]1;2]),f1([1;+1[),f1(]1;2][[1;+1[) etf1(]1;2]\[1;+1[).

Exercice 18(193, bodin, 1998/09/01).

On considère quatre ensemblesA;B;CetDet des applicationsf:A!B, g:B!C,h:C!D. Montrer que : gfinjective)finjective, gfsurjective)gsurjective.

Montrer que :

gfethgsont bijectives,f;gethsont bijectives:

Exercice 19(194, ridde, 1999/11/01).

Soitf:X!Y. Montrer que

1.8BY f(f1(B)) =B\f(X).

2.fest surjective ssi8BY f(f1(B)) =B.

3.fest injective ssi8AX f1(f(A)) =A.

4.fest bijective ssi8AX f({A) ={f(A):

5

Exercice 20(199, bodin, 1998/09/01).

Soitf: [0;1]![0;1]telle que

f(x) =( xsix2[0;1]\Q;

1xsinon.

Démontrer queff=id.

Exercice 21(124, bodin, 1998/09/01).

SoientEetFdeux ensembles,f:E!F. Démontrer que :

8A;B2 P(E) (AB))(f(A)f(B)),

8A;B2 P(E)f(A\B)f(A)\f(B),

8A;B2 P(E)f(A[B) =f(A)[f(B),

8A;B2 P(F)f1(A[B) =f1(A)[f1(B),

8A2 P(F)f1(FnA) =Enf1(A).

1.2

Nom bres

Exercice 22(477, bodin, 1998/09/01).

SoitAetBdeux parties bornées deR.Vraioufaux?

1.AB)supA6supB,

2.AB)infA6infB,

3.sup(A[B) = max(supA;supB),

4.sup(A+B)

5.sup(A) =infA,

6.supA+ infB6sup(A+B).

Exercice 23(470, cousquer, 2003/10/01).

Étant donné un ensembleAR, écrire avec des quantificateurs les propriétés suivantes :

1.10est un majorant deA,

2.mest un minorant deA,

3.Pn"est pas un majorant deA,

4.Aest majoré,

5.An"est pas minoré,

6.Aest borné,

7.An"est pas borné.

Exercice 24(472, cousquer, 2003/10/01).

SoitE=f1n

cosnjn2Ng; calculerinfEetsupE. 6

Exercice 25(456, ridde, 1999/11/01).

Soientaetbdeux rationnels positifs tels quepaetpbsoient irrationnels.

Montrer quepa+pbest irrationnel.

Exercice 26(461, gourio, 2001/09/01).

Montrer que

ln3ln2 est irrationnel.

Exercice 27(1, bodin, 1998/09/01).

Mettre sous la formea+ib(a;b2R) les nombres :

3 + 6i34i;1 +i2i

2 +3 + 6i34i;2 + 5i1i+25i1 +i:

Exercice 28(5127, rouget, 2010/06/30).**I

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