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Calculer An pour n ∈ N Correction ▽ [002594] Exercice 5 Soit A la matrice suivante A =

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D'après les règles de calcul dans , (α + β)ai j est égal à αai j + βai j qui est le terme général de la matrice αA+ βA Mini-exercices 1 Soient A = −7 2 0 −1 1 −4

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Exercice 14 *** Soit A une matrice carrée complexe de format n (n ⩾ 2) telle que pour tout élément M de Mn(C), on ait det(A+M) = detA+detM Montrer que A = 0

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Exercice 13 ** Soit A une matrice carrée réelle Montrer que les matrices tAA et AtA sont orthogonalement semblables Correction ▽ [005798] Exercice 14 

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Exercice 1 1 de Gauss, en inversant la matrice des coefficients, par la formule de Cramer) : Pour chaque couple de matrices (Ai,bi), 1 ⩽ i ⩽ 5, ci-dessous

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Exercice 5 ***I Matrices et déterminants de GRAM Matrice de la projection orthogonale sur la droite d'équations 3x = 6y = 2z dans la base canonique 

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Ainsi f est bijective (et sa bijection réciproque est g) Mini-exercices 1 Calculer la matrice associée aux applications linéaires fi : 2 → 2 dans la base canonique : ( 

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Effectuer le produit des matrices : ( 2 1 Que peut-on dire d'une matrice A ∈ Mn( R) qui vérifie tr(A tA) = 0? Exercice 7 M antisymétrique ⇒ I +M est inversible

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Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre, on suppose que la matrice AB est inversible d'inverse la matrice C Montrer alors que B est 

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teur de l'exercice, est le même que sur le site exo7 et c'est aussi le numéro utilisé dans le Quelle est la matrice de la symétrie axiale par rapport à l'axe des

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Exo7

Déterminants

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur???? * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1**SoientA=(ai;j)16i;j6nune matrice carrée etB=(bi;j)16i;j6noùbi;j=(1)i+jai;j. Calculer det(B)en fonction

de det(A). H???Exercice 2***IOn définit par blocs une matriceAparA=B D 0C oùA,BetCsont des matrices carrées de formats respectifsn,petqavecp+q=n. Montrer que det(A) =det(B)det(C).

H???Exercice 3***I Déterminants de VANDERMONDESoientx0,...,xn1nnombres complexes. Calculer Van(x0;:::;xn1) =det(xi1j1)16i;j6n.

H???Exercice 4****I Déterminant de CAUCHYSoienta1,...,an,b1,...,bn2nnombres complexes tels que toutes les sommesai+bj, 16i;j6n, soient non

nulles. CalculerCn=det1a i+bj

16i;j6n. Cas particulier :8i2[[1;n]],ai=bi=i(déterminant de HILBERT).

H???Exercice 5**Résoudre le systèmeMX=UoùM= (ji1)16i;j6n2Mn(R),U= (di;1)16i6n2Mn;1(R)etXest un vecteur

colonne inconnu.

H???Exercice 6**Calculer det(sin(ai+aj))16i;j6noùa1,...,ansontnréels donnés (n>2).

H???Exercice 7**Calculer det(ai+bj)16i;j6noùa1,...,an,b1,...,bnsont 2ncomplexes donnés.

H???Exercice 8**Calculer det((a+i+j)2)16i;j6noùaest un complexe donné. H???Exercice 9**** 1

Soientx1,...,xnnentiers naturels tels quex1< :::

16i;j6nx

jxijiest un entier naturel.

H???Exercice 10**** Déterminants circulantsSoienta0,...,an1nnombres complexes. Calculer

a

0a1:::an2an1

a n1a0...an2............... a

2......a1

a

1a2:::an1a0

=detA. Pour cela, on calculera d"abordAWoùW= (w(j1)(k1))16j;k6navecw=e2ip=n.

H???Exercice 11**I1.Soient ai;j, 16i;j6n,n2fonctions dérivables surRà valeurs dansC. Soitd=det(ai;j)16i;j6n.

Montrer quedest dérivable surRet calculerd0.

2.

Application : calculer dn(x) =

x+1 1:::1 1 .........1

1:::1x+1

H???Exercice 12***SoientAetBdeux matrices carrées réelles de formatn. Montrer que le déterminant de la matriceAB

B A de format 2nest un réel positif.

H???Exercice 13***SoientA,B,CetDquatre matrices carrées de formatn. Montrer que siCetDcommutent et siDest inversible

alors detA B C D =det(ADBC). Montrer que le résultat persiste siDn"est pas inversible.

H???Exercice 14***SoitAune matrice carrée complexe de formatn(n>2) telle que pour tout élémentMdeMn(C), on ait

det(A+M) =detA+detM. Montrer queA=0. H???Exercice 15**ISoienta0, ... ,an1nnombres complexes etA=0 B

BBBBBB@0::: :::0a0

1......a1

0............

.........0...

0:::0 1an11

C

CCCCCCA. Calculer det(AxIn).

2 H???Exercice 16**Calculer les déterminants suivants : 1. det AoùA2M2n(K)est telle queai;i=aetai;2n+1i=betai;j=0 sinon. 2.

1 0::: :::0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0::: :::0 1

3.

1::: :::1

... 0 1:::1 1 ............1

1 1:::1 0

et

0 1::: :::1

1 .........1

1::: :::1 0

(n>2) 4. (I) a b:::b b .........b b:::b a (n>2). H???3

Correction del"exer cice1 N1ère solution.

detB=å s2Sne(s)bs(1);1:::bs(n);n=å s2Sne(s)as(1);1:::as(n);n =detA:

2ème solution.On multiplie les lignes numéros 2, 4,... deBpar1 puis les colonnes numéros 2, 4,... de

la matrice obtenue par1. On obtient la matriceAqui se déduit donc de la matriceBpar multiplication des

lignes ou des colonnes par un nombre pair de1 (puisqu"il y a autant de lignes portant un numéro pair que de

colonnes portant un numéro pair). Par suite, det(B) =det(A).Correction del"exer cice2 NSoientC2Mq(K)etD2Mp;q(K). Soitj:(Mp;1(K))p!K

(C1;:::;Cp)7!detX D 0C oùX= (C1:::Cp)2 M p(K). •jest linéaire par rapport à chacune des colonnesC1,...,Cp. • Si il existe(i;j)2[[1;p]]2tel quei6=jetCi=Cj, alorsj(C1;:::;Cp) =0.

Ainsi,jest une formep-linéaire alternée sur l"espaceMp;1(K)qui est de dimensionp. On sait alors qu"il

existel2Ktel quej=ldetB0(où detB0désigne la forme déterminant dans la base canonique deMp;1(K))

ou encore il existel2Kindépendant de(C1;:::;Cp)tel que8(C1;:::;Cp)2(Mp;1(K))p,f(C1;:::;Cp) = ldetB0(C1;:::;Cp)ouenfinilexistel2KindépendantdeXtelque8X2Mp(K), detX D 0C =ldet(X).

PourX=Ip, on obtientl=detIpD

0C et donc

8B2Mp(K), detB D

0C =det(B)detIpD 0C

De même, l"applicationY7!detIpD

0Y est une formeq-linéaire alternée des lignes deYet donc il existe m2Ktel que8Y2Mq(K), detIpD 0Y =mdet(Y)puisY=Iqfournitm=detIpD 0Iq et donc

8B2Mp(K),8C2Mq(K),8D2Mp;q(K),

detB D 0C =det(B)det(C)detIpD 0Iq =det(B)det(C),

(en supposant acquise la valeur d"un déterminant triangulaire qui peut s"obtenir en revenant à la définition d"un

déterminant et indépendamment de tout calcul par blocs).

8(B;C;D)2Mp(K)Mq(K)Mp;q(K), detB D

0C

=det(B)det(C).Correction del"exer cice3 NSoitnun entier naturel non nul. On noteL0,L1,...,Lnles lignes du déterminant Van(x0;:::;xn)

A la ligne numérondu déterminant Van(x0;:::;xn), on ajoute une combinaison linéaire des lignes précédentes

du typeLn Ln+ån1i=0liLi. La valeur du déterminant n"a pas changé mais sa dernière ligne s"écrit maintenant

4

(P(x0);:::;P(xn))oùPest un polynôme unitaire de degrén. On choisit alors pourP(le choix desliéquivaut

au choix deP) le polynômeP=Õn1i=0(Xxi)(qui est bien unitaire de degrén). La dernière ligne s"écrit

alors(0;:::;0;P(xn+1))et en développant ce déterminant suivant cette dernière ligne, on obtient la relation de

récurrence :

8n2N;Van(x0;:::;xn) =P(xn)Van(x0;:::;xn1) =Õn1i=0(xnxi)Van(x0;:::;xn1).

En tenant compte de Van(x0) =1, on obtient donc par récurrence

8n2N;8(xi)06i6n2Kn;Van(xi)06i6n1=Õ06i colonnes identiques.

On suppose dorénavant que lesaisont deux à deux distincts de même que lesbj(et toujours que les sommes

a i+bjsont toutes non nulles).quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3