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Calculer An pour n ∈ N Correction ▽ [002594] Exercice 5 Soit A la matrice suivante A =

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D'après les règles de calcul dans , (α + β)ai j est égal à αai j + βai j qui est le terme général de la matrice αA+ βA Mini-exercices 1 Soient A = −7 2 0 −1 1 −4

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Exercice 14 *** Soit A une matrice carrée complexe de format n (n ⩾ 2) telle que pour tout élément M de Mn(C), on ait det(A+M) = detA+detM Montrer que A = 0

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Exercice 13 ** Soit A une matrice carrée réelle Montrer que les matrices tAA et AtA sont orthogonalement semblables Correction ▽ [005798] Exercice 14 

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Exercice 1 1 de Gauss, en inversant la matrice des coefficients, par la formule de Cramer) : Pour chaque couple de matrices (Ai,bi), 1 ⩽ i ⩽ 5, ci-dessous

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Exercice 5 ***I Matrices et déterminants de GRAM Matrice de la projection orthogonale sur la droite d'équations 3x = 6y = 2z dans la base canonique 

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Ainsi f est bijective (et sa bijection réciproque est g) Mini-exercices 1 Calculer la matrice associée aux applications linéaires fi : 2 → 2 dans la base canonique : ( 

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Effectuer le produit des matrices : ( 2 1 Que peut-on dire d'une matrice A ∈ Mn( R) qui vérifie tr(A tA) = 0? Exercice 7 M antisymétrique ⇒ I +M est inversible

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Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre, on suppose que la matrice AB est inversible d'inverse la matrice C Montrer alors que B est 

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teur de l'exercice, est le même que sur le site exo7 et c'est aussi le numéro utilisé dans le Quelle est la matrice de la symétrie axiale par rapport à l'axe des

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Exo7

Espaces euclidiens

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur???? * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1*** IMontrer que la matrice de HILBERTHn=1i+j1

16i;j6nest définie positive.

H???Exercice 2*** I1.Soit Aune matrice carrée réelle de formatnetS=tAA. Montrer queS2S+n(R).

2.

Réciproquement, montrer que pour toute matrice Ssymétrique positive, il existe une matriceAcarrée

réelle de formatntelle queS=tAA. A-t-on l"unicité deA? 3. Montrer que Sest définie positive si et seulement siAest inversible. 4.

Montrer que r g(A) =rg(S).

5. (Racine carrée d"une matrice symétrique positi ve)Soit Sune matrice symétrique positive. Montrer qu"il existe une et une seule matriceRsymétrique positive telle queR2=S.

H???Exercice 3**** ISoitEun espace euclidien de dimensionnnon nulle. Soit(x1;:::;xp)une famille depvecteurs deE(p>2) .

On dit que la famille(x1;:::;xp)est une famille obtusangle si et seulement si8(i;j)2[[1;p]]2(i Montrer que si la famille(x1;:::;xp)est une famille obtusangle alorsp6n+1.

H???Exercice 4**I Inégalité de HADAMARDSoitEun espace euclidien de dimensionn>1 etBune base orthonormée deE.

Montrer que pour toutn-uplet de vecteurs(x1;:::xn), on a :jdetB(x1;:::;xn)j6kx1k:::kxnk. Cas d"égalité ?

H???Exercice 5**Montrer que pour toute matrice carréeAréelle de formatn, on ajdetAj6rÕ

nj=1

åni=1a2i;j

H???Exercice 6***SoitAune matrice orthogonale. Montrer que la valeur absolue de la somme des coefficients deAest inférieure

ou égale àn. Cas d"égalité si de plus tous les coefficients deAsont positifs ? H??? 1 Exercice 7**On munitE=M3(R)muni du produit scalaire usuel. 1.

Déterminer l"orthogonal de A3(R).

2.

Calculer ladistancedelamatriceM=0

@0 1 0 0 0 1

0 0 01

A

H???Exercice 8**Soit(e1;e2;e3)une base orthonormée directe d"un espace euclidien orientéEde dimension 3. Matrice de la

rotation d"angle p3 autour dee1+e2.

H???Exercice 9***SoitAune matrice carrée réelle symétrique positive de formatn. Montrer que 1+npdet(A)6npdet(In+A).

H???Exercice 10**Déterminer card(On(R)\Mn(Z)). H???Exercice 11

Soitfune application deCdansC,R-linéaire.

1. Montrer qu"il e xistedeux comple xesaetbtels que pour toutz2C,f(z) =az+bz. 2.

Calculer T r(f)et det(f)en fonction deaetb.

3. C.N.S. pour que fsoit autoadjoint dansCmuni de sa structure euclidienne canonique.

H???Exercice 12***Trouver tous les endomorphismes deR3vérifiant8(x;y)2(R3)2,f(x^y) =f(x)^f(y).

H???Exercice 13**SoitAune matrice carrée réelle. Montrer que les matricestAAetAtAsont orthogonalement semblables.

H???Exercice 14*** IMontrer que le produit de deux matrices symétriques réelles positives est à valeurs propres réelles positives.

H???Exercice 15*** ISoientAetBdeux matrices carrées réelles symétriques positives. Montrer que detA+detB6det(A+B).

H??? 2 Exercice 16**Valeurs et vecteurs propres de l"endomorphisme deR3euclidien orienté défini par

8x2R3,f(x) =a^(a^x)oùaest un vecteur donné.

H???Exercice 17*** ISoitfun endomorphisme d"un espace euclidien de dimensionnqui conserve l"orthogonalité. Montrer qu"il

existe un réel positifktel que8x2E,kf(x)k=kkxk. H???Exercice 18** ISoitPleplandeR4d"équationsx+y+z+t=0 euclidienne canonique. 1.

Déterminer les matrices dans Bde la projection orthogonale surPet de la symétrie orthogonale par

rapport àP. 2. Calculer la distance d"un v ecteurquelconque de R4àP. H???Exercice 19**La matrice 0 B

BBB@n11:::1

1.........

.........1

1:::1n11

C

CCCAest-elle positive ? définie ?

H???Exercice 20***O n(R)est-il convexe ?On(R)contient-il trois points alignés? H???3 Correction del"exer cice1 NLa matriceHnest symétrique réelle. SoitX= (xi)16i6n2Mn;1(R). t

XHnX=å

16i;j6nx

ixji+j1=å

16i;j6nx

ixjZ 1

0ti+j2dt=Z

1 0

16i;j6nx

ixjti+j2! dt Z 1 0 nå i=1x iti1! 2 dt>0:

De plus, siX6=0, le polynômeåni=1xiYi1n"est pas le polynôme nul et donc, puisqu"un polynôme non nul

admet un nombre fini de racines, la fonctiont7!åni=1xiti12. Ainsi, la fonctiont7!åni=1xiti12est

continue positive et non nulle sur[0;1]et on en déduit queR1

0åni=1xiti12dt>0. On a montré que8X2

M n;1(R)nf0g,tXHnX>0 et donc que la matriceHnest symétrique définie positive.Correction del"exer cice2 N1. tS=t(tAA) =tAt(tA) =tAA=S. DoncS2Sn(R). SoitX2Mn;1(R),tXSX=tXtAAX=t(AX)AX=kAXk22>0. DoncS2S+n(R).

8A2Mn(R),tAA2S+n(R).2.Soit S2S+n(R). D"après le théorème spectral, il existePdansOn(R)etDdansDn(R)telles que

S=PDtP.

PosonsD=diag(l1;:::;ln). PuisqueSest dansS+n(R),Dest dansD+n(R)et on peut poserD0= diag(pl

1;:::;pl

n)de sorte queD02=D. On peut alors écrire

S=PDtP=PD0D0tP=t(DtP)D0tP,

et la matriceA=D0tPconvient.

8S2S+n(R),9A2Mn(R)=S=tAA.On a aussi

t(A)(A) =Set comme en généralA6=A, on n"a pas l"unicité de la matriceA. 3. Sdéfinie positive, 8X2Mn;1(R)nf0g;tXSX>0, 8X2Mn;1(R)nf0g;kAXk22>0 , 8X2Mn;1(R)nf0g;AX6=0,KerA=f0g ,A2GLn(R): 4. Montrons que les matrices AetSont même noyau. SoitX2Mn;1(R).

X2KerA)AX=0)tAAX=0)SX=0)X2KerS,

et X2KerS)tAAX=0)tXtAAX=0)t(AX)AX=0) kAXk22=0)AX=0)X2KerA. 4 Ainsi, Ker(tAA) =Ker(A)et en particulier, grâce au théorème du rang, on a montré que

8A2Mn(R), rg(tAA) =rg(A).5.Soit S2S+n(R).

Existence.D"après le théorème spectral, il existeP02On(R)etD02D+n(R)telles queS=P0D0tP0. PosonsD0=diag(l1;:::;ln)où lesli, 16i6n, sont des réels positifs puisD0=diag(pl

1;:::;pl

n)et enfinR=P0D0tP0. La matriceRest orthogonalement semblable à une matrice deD+n(R)et est donc un

élément deS+n(R). Puis

R

2=P0D20tP0=P0D0tP0=S.

Unicité.SoitMun élément deS+n(R)telle queM2=S. Mest diagonalisable d"après le théorème spectral et doncMn;1(R) = l2Sp(M)EM(l). Mais silest une valeur propre deM, Ker(MlIn)Ker(M2l2In) =Ker(Sl2In). De plus, les valeurs propres de Métant positive, lesl2,l2Sp(M), sont deux à deux distincts ou encore les Ker(Sl2In),l2Sp(M), sont deux à deux distincts. Ceci montre que pour chaquel2Sp(M), Ker(MlIn) =Ker(Sl2In)et que lesl2,l2Sp(M), sont toutes les valeurs propres deS.

Ainsi, nécessairement la matrice

tP0MP0est une matrice diagonaleD. L"égalitéM2=SfournitD2=D0 puisD=D0(carD2D+n(R)) et finalementM=R.

8S2S+n(R),9!R2S+n(R)=R2=S.Correction del"exer cice3 N1 ère solution.Soitp>2. Montrons que si la famille(x1;:::;xp)est obtusangle alors la famille(x1;:::;xp1)

est libre. Soit(x1;:::;xp)une famille obtusangle. Supposons que la famille(x1;:::;xp1)soit liée. Il existe donc(l1;:::;lp1)2Rp1nf(0;:::;0)gtel queåp1 k=1lkxk=0.

Quite à multiplier les deux membres de l"égalité par1, on peut supposer que l"un desliau moins est

strictement positif. On poseI=fk2[[1;p1]]=lk>0getJ=fk2[[1;p1]]=lk60g(éventuellement

Jest vide).

SiJest vide, il resteåi2Ilixi=0 et siJest non vide, k åi2Ilixik2=(åi2Ilixi)åj2Jljxj=å(i;j)2IJlilj(xijxj)60 (car8(i;j)2IJ,(xijxj)<0 et l ilj60).

Ainsi, dans tous les cas,

åi2Ilixi=0. Mais ceci est impossible car(åi2Ilixi)jxp=åi2Ili(xijxp)<0. On a montré que la famille(x1;:::;xp1)est libre et on en déduit quep16nou encorep6n+1.

2ème solution.Montrons par récurrence surn=dimEn>1 que tout famille obtusangle deEna un cardinal

inférieur ou égal àn+1.

• Pourn=1. Soientx1,x2etx3trois vecteurs deE1. On peut identifier ces vecteurs à des réels. Deux des trois

réelsx1,x2oux3ont même signe et on ne peut donc avoirx1x2<0 etx1x3<0 etx2x3<0. Une famille obtusangle deE1a donc un cardinal inférieur ou égal à 2.

• Soitn>1. Supposons que toute famille obtusangle d"un espace euclidien de dimensionna un cardinal

inférieur ou égal àn+1. Soit(x1;:::;xp)une famille obtusangle deEn+1.

Sip=1 alorsp6n+2. Supposons dorénavantp>2.

5

On va construire à partir de cette famille une famille obtusangle de cardinalp1 d"un espace euclidien de

dimensionn. SoitF=x?p. Puisquelafamille(x1;:::;xp)estobtusangle, levecteurxpn"estpasnuletFestunespaceeuclidienquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3