L'inégalité de Bernoulli Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1−, on a : ( )1 1 n x nx + ≥ + Analyse
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PanaMaths Septembre 2013
L'inégalité de Bernoulli.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout réel supérieur ou égal à 1, on a : 11 n xnxAnalyse
Elle est classique et bien pratique. On peut la trouver sous diverses formes, l'inégalité pouvant, modulo une petite modification du champ d'application, être stricte. La forme proposée est obtenue grâce à un raisonnement par récurrence simple.Résolution
Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
nP : " 1; , 1 1
nxxnx »Initialisation
Pour1n, on a : 1; , 1 1
n xxx et1; , 1 1xnx x .
L'inégalité (qui s'avère être une égalité dans ce cas) est donc bien vérifiée pour tout réel x
supérieur ou égal à 1. 1P est donc vraie.
Hérédité
Soit N un entier naturel non nul quelconque fixé. On suppose NP vraie. On suppose donc que
l'on a :1; , 1 1
N xxNx (hypothèse de récurrence).On veut montrer que
1NP, c'est-à-dire :
11; , 1 1 1
N xxNx Pour tout réel x supérieur ou égal à 1 , on a : 10x et donc :111111
NN xNxxxNxxC'est-à-dire :
12 111N xNx N x
PanaMaths Septembre 2013
Comme 20Nx, il vient
211 11NxNx Nx et, finalement :
1 111N xNx t 1N