2 oct 2014 · (1 + x)n ≥ 1 + nx 1 Prouver l'inégalité de Bernoulli pour n = 1 Application : Soit A une proposition à démontrer 1 On fait l'hypothèse non(A)
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2 oct 2014 · (1 + x)n ≥ 1 + nx 1 Prouver l'inégalité de Bernoulli pour n = 1 Application : Soit A une proposition à démontrer 1 On fait l'hypothèse non(A)
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Mathématiques Avancées
Semaine 3
2 octobre 2014
Partie I
Previously on...
Previously on...
quantificateur universel?quantificateur existentiel?négation des quantifications importance de l"ordre raisonnement par l"absurdePartie II
Raisonnement par récurrence
Une inégalité suisse
Théorème (Inégalité de Bernoulli)
Pour tout entier naturel n≥1et pour tout réel x≥ -1, on a(1+x)n≥1+nx1Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=1.2Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=2.3Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=3.4Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=4.5Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=5.6etc.
Une inégalité suisse
Théorème (Inégalité de Bernoulli)
Pour tout entier naturel n≥1et pour tout réel x≥ -1, on a(1+x)n≥1+nx1Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=1.2Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=2.3Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=3.4Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=4.5Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=5.6etc.
Une inégalité suisse
Théorème (Inégalité de Bernoulli)
Pour tout entier naturel n≥1et pour tout réel x≥ -1, on a(1+x)n≥1+nx1Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=1.2Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=2.3Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=3.4Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=4.5Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=5.6etc.
Une inégalité suisse
Théorème (Inégalité de Bernoulli)
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Une inégalité suisse
Théorème (Inégalité de Bernoulli)
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Une inégalité suisse
Théorème (Inégalité de Bernoulli)
Pour tout entier naturel n≥1et pour tout réel x≥ -1, on a(1+x)n≥1+nx1Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=1.2Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=2.3Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=3.4Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=4.5Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=5.6etc.
Principe de récurrence
Pour démontrer :?n?N,A(n)Il suffit de suivre les étapes suivantes :Initialisation :
p rouverA(0).Hérédité :
montrer que ?n?N,A(n) =?A(n+1).Conclusion :
invo querle p rincipede récurrencePartie III
Exercices
Exercice : une identitéremarquable?
Soientx,ydeux nombres réels. La proposition
(x+y)2=x2+y2 est-elle vraiepour tout couple(x,y)?pour certains? pour aucun? Exercice : le carré d"un rationnel est rationnel1Écrire avec des quantificateurs la propriété suivante :le carré d"un nombre rationnel est rationnel.
2Énoncer la négation de cette propriété.3Prouver la propriété.
Rappel : négation des quantifications
?devient?La négation de?x,A(x)est ?x,(nonA(x))?devient?La négation de?x,A(x)est ?x,(nonA(x)) Exercice : le carré d"un rationnel est rationnel1Écrire avec des quantificateurs la propriété suivante :le carré d"un nombre rationnel est rationnel.
2Énoncer la négation de cette propriété.3Prouver la propriété.
Rappel : démontrer unpour tout...Schéma de démonstration1Soitxquelconque. Nous allons montrerA(x).2...
(une preuve deA(x)) ...3Ceci étant vrai quel que soitx, on a prouvé ?x,A(x). Exercice : produit d"un rationnel et d"un irrationnel1Écrire avec des quantificateurs la propriété suivante :le produit d"un nombre rationnel non nul et d"un
nombre irrationnel est irrationnel.2Écrire la négation de cette propriété avec des quantificateurs.3Prouver la propriété en raisonnant par l"absurde.Rappel : raisonnement par l"absurde
Principe :
démontrer qu"une p ropositionest vraie revient à montrer que sa négation est fausse.Application :
Soit Aune proposition à démontrer.1On fait l"hypothèse non(A).2Cette hypothèse entraîne une contradiction.3Ceci prouveA.