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Une récurrence facile ou l'inégalité de Bernoulli (avec a = 1) prouve que/on sait que 2m ≥ m Il en résulte que m ∈ A Variante : On a : 1 ∈ A par i) et 2 ∈ A par 

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2 oct 2014 · Partie II Raisonnement par récurrence 1 Prouver l'inégalité de Bernoulli pour n = 1 Conclusion : invoquer le principe de récurrence

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xk = 1+nx Corrigé 2 - par récurrence Evidemment pour n = 1 l'inégalité de Bernoulli est vraie Supposons alors que (1 + x)n ≥ 1 + nx Alors, pour tout x ≥ 0

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(1 + na)(1 + a) (par hypothèse de récurrence et car 1 + a ⩾ 0) (l'inégalité de Bernoulli :) pour tout réel positif a et tout entier naturel n, (1 + a)n ⩾ 1 + na

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A l'aide d'un raisonnement par récurrence, on vient d'établir que la propriété Pn est vérifiée pour tout entier naturel n Proposition : Soit q un nombre réel tel que q  

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L'égalité est réalisée si, et seulement si, a + b = a + 2 √ On procède par récurrence sur n ≥ 2 L'inégalité de Bernoulli peut être généralisée comme suit

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D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : AK3 ≥ A et donc la suite (un) est croissante 3) Inégalité de Bernoulli

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12 mar 2017 · 4) Pour prouver une inégalité non-triviale (l'inégalité de Bernoulli par exemple) 5) Enfin, le raisonnement par récurrence sous-tend quelques 

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Mathématiques Avancées

Semaine 3

2 octobre 2014

Partie I

Previously on...

Previously on...

quantificateur universel?quantificateur existentiel?négation des quantifications importance de l"ordre raisonnement par l"absurde

Partie II

Raisonnement par récurrence

Une inégalité suisse

Théorème (Inégalité de Bernoulli)

Pour tout entier naturel n≥1et pour tout réel x≥ -1, on a

(1+x)n≥1+nx1Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=1.2Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=2.3Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=3.4Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=4.5Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=5.6etc.

Une inégalité suisse

Théorème (Inégalité de Bernoulli)

Pour tout entier naturel n≥1et pour tout réel x≥ -1, on a

(1+x)n≥1+nx1Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=1.2Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=2.3Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=3.4Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=4.5Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=5.6etc.

Une inégalité suisse

Théorème (Inégalité de Bernoulli)

Pour tout entier naturel n≥1et pour tout réel x≥ -1, on a

(1+x)n≥1+nx1Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=1.2Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=2.3Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=3.4Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=4.5Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=5.6etc.

Une inégalité suisse

Théorème (Inégalité de Bernoulli)

Pour tout entier naturel n≥1et pour tout réel x≥ -1, on a

(1+x)n≥1+nx1Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=1.2Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=2.3Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=3.4Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=4.5Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=5.6etc.

Une inégalité suisse

Théorème (Inégalité de Bernoulli)

Pour tout entier naturel n≥1et pour tout réel x≥ -1, on a

(1+x)n≥1+nx1Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=1.2Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=2.3Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=3.4Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=4.5Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=5.6etc.

Une inégalité suisse

Théorème (Inégalité de Bernoulli)

Pour tout entier naturel n≥1et pour tout réel x≥ -1, on a

(1+x)n≥1+nx1Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=1.2Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=2.3Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=3.4Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=4.5Prouver l"inégalité de Bernoulli pourn=5.6etc.

Principe de récurrence

Pour démontrer :?n?N,A(n)Il suffit de suivre les étapes suivantes :

Initialisation :

p rouverA(0).

Hérédité :

montrer que ?n?N,A(n) =?A(n+1).

Conclusion :

invo querle p rincipede récurrence

Partie III

Exercices

Exercice : une identitéremarquable?

Soientx,ydeux nombres réels. La proposition

(x+y)2=x2+y2 est-elle vraiepour tout couple(x,y)?pour certains? pour aucun? Exercice : le carré d"un rationnel est rationnel

1Écrire avec des quantificateurs la propriété suivante :le carré d"un nombre rationnel est rationnel.

2Énoncer la négation de cette propriété.3Prouver la propriété.

Rappel : négation des quantifications

?devient?La négation de?x,A(x)est ?x,(nonA(x))?devient?La négation de?x,A(x)est ?x,(nonA(x)) Exercice : le carré d"un rationnel est rationnel

1Écrire avec des quantificateurs la propriété suivante :le carré d"un nombre rationnel est rationnel.

2Énoncer la négation de cette propriété.3Prouver la propriété.

Rappel : démontrer unpour tout...Schéma de démonstration

1Soitxquelconque. Nous allons montrerA(x).2...

(une preuve deA(x)) ...3Ceci étant vrai quel que soitx, on a prouvé ?x,A(x). Exercice : produit d"un rationnel et d"un irrationnel

1Écrire avec des quantificateurs la propriété suivante :le produit d"un nombre rationnel non nul et d"un

nombre irrationnel est irrationnel.2Écrire la négation de cette propriété avec des quantificateurs.3Prouver la propriété en raisonnant par l"absurde.

Rappel : raisonnement par l"absurde

Principe :

démontrer qu"une p ropositionest vraie revient à montrer que sa négation est fausse.

Application :

Soit Aune proposition à démontrer.1On fait l"hypothèse non(A).2Cette hypothèse entraîne une contradiction.3Ceci prouveA.

Exercice : disjonction de cas

1Que signifie la proposition suivante?

?α?R?+\Q,?β?R\Q, αβ?Q2Donner sa négation.3Prouver la proposition.Rappel : on a vu que ⎷2/?Q. Rappel : démontrer unil existe...Schéma de démonstration

1Soitx=.... (on choisit un certainx)2...

(preuve queA(x)) ...3On a trouvé unxtel queA(x)est vérifiée, donc ?x,A(x)

Exercice : nier en bloc

Soitf:R→Rune fonction. Nier les assertions suivantes : ?x?R,f(x)?=0

Exercice : nier en bloc

Soitf:R→Rune fonction. Nier les assertions suivantes : ?M>0,?A>0,?x>1,f(x)>M

Exercice : nier en bloc

Soitf:R→Rune fonction. Nier les assertions suivantes :

Exercice : nier en bloc

Soitf:R→Rune fonction. Nier les assertions suivantes : ?? >0,?α >0,?(x,y)?R2,|x-y|< α=? |f(x)-f(y)|< ?

Exercice : un grand classique

Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a n k=1k=n(n+1)2

Exercice : à peine moins classique

Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a n k=1k2=n(n+1)(2n+1)6

Exercice : pour les gourmands

Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, on a n k=1k3=?n(n+1)2 2quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1