12 mar 2017 · 4) Pour prouver une inégalité non-triviale (l'inégalité de Bernoulli par exemple) 5) Enfin, le raisonnement par récurrence sous-tend quelques
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Une récurrence facile ou l'inégalité de Bernoulli (avec a = 1) prouve que/on sait que 2m ≥ m Il en résulte que m ∈ A Variante : On a : 1 ∈ A par i) et 2 ∈ A par
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2 oct 2014 · Partie II Raisonnement par récurrence 1 Prouver l'inégalité de Bernoulli pour n = 1 Conclusion : invoquer le principe de récurrence
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xk = 1+nx Corrigé 2 - par récurrence Evidemment pour n = 1 l'inégalité de Bernoulli est vraie Supposons alors que (1 + x)n ≥ 1 + nx Alors, pour tout x ≥ 0
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(1 + na)(1 + a) (par hypothèse de récurrence et car 1 + a ⩾ 0) (l'inégalité de Bernoulli :) pour tout réel positif a et tout entier naturel n, (1 + a)n ⩾ 1 + na
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A l'aide d'un raisonnement par récurrence, on vient d'établir que la propriété Pn est vérifiée pour tout entier naturel n Proposition : Soit q un nombre réel tel que q
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L'égalité est réalisée si, et seulement si, a + b = a + 2 √ On procède par récurrence sur n ≥ 2 L'inégalité de Bernoulli peut être généralisée comme suit
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D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : AK3 ≥ A et donc la suite (un) est croissante 3) Inégalité de Bernoulli
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Historique
L"objectif d"un raisonnement par récurrence est de prou- ver qu"une propriétéP(n)est vraie pour une infinité d"entiers naturels n?n0, oùn0désigne un entier na- turel fixé. Ce raisonnement est rendu possible du fait même de la structure discrète deNet donc de l"existence de la no- tion de " successeur » currence semble remonter àBlaise Pascal
dans son traite autour du triangle qui porte son nom. Mais c"est le ma- thématicienHenri Poincaré
(1854-1912) qui l"a formalisé et a donné à cette méthode très puissance de raisonne- ment un contexte rigoureux et indiscutable.Quand peut-on utiliser un raisonnement par
récurrence? 1) Pour déterminer le terme général d"une suite nu- mérique ou établir une formule explicite de somme (somme des carrés, des cubes par exemple) 2) Pour démontrer qu"une suite est minorée, majorée, bor- née ou encore monotone. 3)Pour prouver un critère de divisibilité.
4) Pour prouver une inégalité non-triviale (l"inégalité deBernoulli par exemple)
5) Enfin, le raisonnement par récurrence sous-tend quelques démonstration de question ( ROC Le raisonnement par récurrence est parfois délicat à ma- nipuler :Il faut savoir identifier
qu"il s"impose car dans le cadre du BAC, ce n"est pas toujours suggéré. Il faut y penser mais se garder de voir des récurrences partout. Un contexte propice au raisonnement par récurrence est celui des suites récurrentes d"ordre 1. L"étape d"hérédité n"est pas toujours facile à réaliser La stratégie dépend de la forme de la propriété mais dans tous les cas, on doit partir de quelque chose d"ac- quis. Le plus souvent, il s"agit de l"hypothèse de récur- rence (HR). Qu"on débute par elle ou qu"on l"injecte en cours de raisonnement,HR doit toujours avoir été uti-
lisée Les grandes étape du raisonnement par récurrenceInitialisationOn commencetoujourspar s"assurer que la pro-
priété à démontrer est vérifiées au rang initialn0. Dans le cas contraire, inutile d"aller plus loin, la pro- priété est fausse dans le cadre de l"énoncé.Le raisonnement par
récurrence? d0dndn+1Le premier
domino tombe.AmorceSi lenedomino tombe, il
fait tomber le(n+1)e.Propagation
D"autres raisonnements par récurrence existent. Certains sont hors programme comme la récurrence finie, la récurrence descendante ou transfinie. En revanche, on présente parfois au lycée la récur- rence forte . Cette dernière consiste à booster l"hy- pothèse de récurrence par rapport à une récurrence simple en supposant la propriété à démontrer vraie jusqu"à un rang fixé (i.e den0àn).HéréditéIl s"agit de prouver que le caractère mathématique setransmet à la génération suivante.On fait une
hypothèse de récurrence (HR) qui consiste à supposer que la propriété est vraie pour un entier naturelfixéntel quen?n0 Sous cette hypothèse, il "agit alors de montrer que la propriété rest vraie au rang suivant(n+1).