[PDF] Quelques exercices corrigés (2) PDF CorrFVC2.pdf

On se retrouve donc à vouloir développer en série de Laurent la fonction z ↦→ z2 sin(z2) , qui est une fonction holomorphe en 0 ; ce développement sera donc

[PDF] L3 – Analyse complexe - feuille dexercices n Dans ce qui suit, D

a) Donner le développement en série enti`ere de f dans le disque z < 1 b) Trouver le développement en série de Laurent de f dans la couronne 1 < z < 2

[PDF] Résidus et applications Quelques notions à savoir avant la - LIPN

1 (1 − z)3 en z0 = 1 Solution 1 1 La fonction sin est holomorphe en π/4 Son développement en série de Laurent se confond donc avec

[PDF] TD 4 Singularités, résidus

lorsque f est une fonction holomorphe sur U, zo ∈ U et n ∈ N Exercice 3 Déterminer la série de Laurent de f(z) = 1 z(z−1)(z−2) dans les couronnes suivantes:

[PDF] Exercices corrigés sur les séries entières

Exercice 1 Déterminer le rayon de convergence des séries entières Exercice 7 Calculer le développement en série entière en zéro des fonctions suivantes :

[PDF] Examens corrigés dAnalyse Complexe - Département de

Exercice 1 Soit un développe alors en série de Laurent : f(z) = ∞ Avec s ∈ R réel, s > 1, en prenant le logarithme et en utilisant le développement en série

[PDF] Corrigé

Corrigé 1 Soit U = {1 < z < 2} et soit f : U → C une fonction holomorphe On note unicité il s'agit du développement en série de Laurent de f dans la couronne

[PDF] Analyse complexe - école normale supérieure dOran (ENS dOran )

z( (2z 1)dz φ 2πi+Res(/,0) + Res)/, 1 2*,φ 2πi+ 1 + 2 log 3 2, 6 4 Exercices 6 4 1 Exercices résolus Exercice 6 1 Donner le développement en série de Laurent

[PDF] Analyse complexe

ROMBALDI J -É , Exercices et problèmes corrigés pour l'agrégation de Développement en série entière d'une fonction holomorphe 55 Séries de Laurent

pdf Séries de Laurent - univ-toulousefr

ln(x) = X ? 1)n (?1)n+1 sur ]0 2[ e`(z) ? z = 0 sur ]0 2[ donc sur D(1 1) par prolongement analytique On peut en déduire des développements en série entière au voisinage d’un point arbitraire a ? C? de logarithme b : en effet z 7? `(z a) + b est alors un logarithme sur D(a a) Exemple

TD 10 - Séries de Laurent Calculs de résidus - GitHub Pages

Un exercice qui n’a rien à voir Rappel:lethéorèmedeMoreraSifestcontinuesurunouvertUetquesonintégrale surtouttriangleestnullealorsfestholomorphe Remarque : aucune hypothèse n’est faite sur l’ouvert U Exercice7 Autourduprincipederé?exiondeSchwarz a) SoitUunouvertdeC OnsupposequefestholomorphesurUnUR etcontinue

F7 : Séries de Laurent théorème des résidus et ses applications

Exercice 2 Donner le développement en série de Laurent des fonctions suivantes dans des couronnes maximales centrées en : a) z3 exp(1=z); = 0; b) 1 z2 (3 + i)z+ 3i; 2f0;3;ig; c) ez z 1; 2f1;ig: Exercice 3 Déterminer les singularités isolées et la nature de chaque singularité des fonctions dé nies par : a) cosz z; b) exp(1=z); c) log(1

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3 1 Développement en série de Laurent Soit rR 2 R+ [{+•}0 r < R L’ouvert C(a;r;R)={z 2 C;r < z a < R} est appelé couronne de centre a de rayon intérieur r et de rayon extérieur R Puisque C(a;r;R) n’est pas un domaine simplement connexe la formule de Cauchy n’est pas valable pour tout lacet G de W

L3 Mathématiques Printemps 2009/2010

Fonctions d"une Variable Complexe J. Melleray

Quelques exercices corrigés (2).

Correction de l"exercice 7.6

Notons avant de commencer queUest connexe par arcs et donc connexe. a)

En dériv ant,l"égalité f(az) =f(z)nous donneaf0(az) =f0(z)pour toutz2U, donc (par récurrence)

a nf0(anz) =f0(z)pour toutn2N. On en déduit que

8g2Ng(an) =anf0(an:1)f0(1)f0(1) = 0:

b) La fonction gs"annule surfan:n2Ng, qui est un sous-ensemble infini1du cercle unité, lequel est

compact. Par le théorème des zéros isolés appliqué àgsur l"ouvert connexeU, on en déduit queg

est constante. c) On sait que p ourtout z2Uon azf0(z) =f0(1). Sif0(1) = 0alors on en déduit quef0(z) = 0 pour toutz2U, et par connexité deU fdoit alors être constante. Il nous faut donc prouver que f

0(1) = 0. Si ce n"est pas le cas, alors la fonctiongdéfinie parg(z) =f(z)f

0(1)est holomorphe surU

et on ag0(z) =1z . La fonctionz7!1z admet donc une primitive holomorphe surU(autrement dit, il y a une branche de logarithme surU), et commeUcontient un cercle centré en0on sait que ce n"est pas le cas (l"intégrale dez7!1z sur un tel cercle parcouru une fois dans le sens direct est égale

à2i).

d) La preuv ene marc heplus, puisque l"ensem bledes anest maintenant fini. La conclusion n"est plus valide non plus. Par exemple, en prenanta=1etf(z) =z2, on a une fonction non constante holomorphe surUet telle quef(az) =zpour toutz2U. Singularités et partie singulière de dez7!1sin(z2). Les singularités sont tous lesztels quez2=kaveck2Z, autrement dit lespnetipnavecn2N.

Toutes ces singularités sont isolées.

Commençons par voir ce qui si passe en0: on sait quesin(z2)z2en0, et on en déduit que en0on a f(z)1z

2, ce qui donne immédiatement que0est un pôle d"ordre2def. Pour calculer la partie singulière

defen0, le plus simple est de mettre en facteur1=z2, et de calculer le développement limité à l"ordre2

de z2sin(z2)en0: z

2sin(z2)=z2z

2+o(z4)=11 +o(z2)= 1 +o(z2):

On en déduit que la partie singulière en0est1z 2. Soit maintenantz0une singularité defdifférente de0. On a limjf(z)j= +1quandz!z0, doncz0est un pôle def. Posonsz=z0+xet faisons tendrexvers0:

(zz0)f(z) =xsin(x+z0)2=xsin(x2+ 2xz0+z20)=xcos(z20)sin(x2+ 2xz0)1.an"est pas une racine de l"unité, donc l"applicationn7!anest injective.

(la dernière égalité vient du fait quesin(z0)2= 0). En faisant un développement limité en0desin(x2+

2xz0) = 2xz0+o(1), on en déduit que

lim z!z0(zz0)f(z) =12z0cos(z20):

Toutes les singularités différentes de0sont donc des pôles d"ordre1, et la partie singulière defest égale à

-12z0siz0=pkouipketkest pair.

12z0siz0=pkouipketkest impair.

Remarque.On n"a pas calculé tout le développement en série de Laurent defsur un petit disque épointé

au voisinage d"une singularité. A titre d"exemple, tentons de mener ce calcul en0. On écrit :

1sin(z2)=1z

2sin(z2):

On se retrouve donc à vouloir développer en série de Laurent la fonctionz7!z2sin(z2), qui est une fonction

holomorphe en0; ce développement sera donc une série entière2, de la formePanz4n(parce quef(z) =

f(z)etf(iz) =f(z)pour toutz2U). Pour calculer lesan, on peut par exemple essayer d"utiliser sin(z2)z 2=+1X n=0(1)nz4n(2n+ 1)!

On en déduit que

1 = +1X n=0a nz4n! +1X m=0(1)mz4m(2m+ 1)!! =+1X p=0z 4pX n;m0;m+n=pa n(1)m(2m+ 1)!:

On retrouve ainsi le fait quea0= 1, et une relation de récurrence permettant de calculer lesande proche

en proche :

8p1ap=pX

m=1aquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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