[PDF] TD 4 Singularités, résidus PDF 4_singularites

lorsque f est une fonction holomorphe sur U, zo ∈ U et n ∈ N Exercice 3 Déterminer la série de Laurent de f(z) = 1 z(z−1)(z−2) dans les couronnes suivantes:

On se retrouve donc à vouloir développer en série de Laurent la fonction z ↦→ z2 sin(z2) , qui est une fonction holomorphe en 0 ; ce développement sera donc

[PDF] L3 – Analyse complexe - feuille dexercices n Dans ce qui suit, D

a) Donner le développement en série enti`ere de f dans le disque z < 1 b) Trouver le développement en série de Laurent de f dans la couronne 1 < z < 2

[PDF] Résidus et applications Quelques notions à savoir avant la - LIPN

1 (1 − z)3 en z0 = 1 Solution 1 1 La fonction sin est holomorphe en π/4 Son développement en série de Laurent se confond donc avec

[PDF] TD 4 Singularités, résidus

lorsque f est une fonction holomorphe sur U, zo ∈ U et n ∈ N Exercice 3 Déterminer la série de Laurent de f(z) = 1 z(z−1)(z−2) dans les couronnes suivantes:

[PDF] Exercices corrigés sur les séries entières

Exercice 1 Déterminer le rayon de convergence des séries entières Exercice 7 Calculer le développement en série entière en zéro des fonctions suivantes :

[PDF] Examens corrigés dAnalyse Complexe - Département de

Exercice 1 Soit un développe alors en série de Laurent : f(z) = ∞ Avec s ∈ R réel, s > 1, en prenant le logarithme et en utilisant le développement en série

[PDF] Corrigé

Corrigé 1 Soit U = {1 < z < 2} et soit f : U → C une fonction holomorphe On note unicité il s'agit du développement en série de Laurent de f dans la couronne

[PDF] Analyse complexe - école normale supérieure dOran (ENS dOran )

z( (2z 1)dz φ 2πi+Res(/,0) + Res)/, 1 2*,φ 2πi+ 1 + 2 log 3 2, 6 4 Exercices 6 4 1 Exercices résolus Exercice 6 1 Donner le développement en série de Laurent

[PDF] Analyse complexe

ROMBALDI J -É , Exercices et problèmes corrigés pour l'agrégation de Développement en série entière d'une fonction holomorphe 55 Séries de Laurent

pdf Séries de Laurent - univ-toulousefr

ln(x) = X ? 1)n (?1)n+1 sur ]0 2[ e`(z) ? z = 0 sur ]0 2[ donc sur D(1 1) par prolongement analytique On peut en déduire des développements en série entière au voisinage d’un point arbitraire a ? C? de logarithme b : en effet z 7? `(z a) + b est alors un logarithme sur D(a a) Exemple

TD 10 - Séries de Laurent Calculs de résidus - GitHub Pages

Un exercice qui n’a rien à voir Rappel:lethéorèmedeMoreraSifestcontinuesurunouvertUetquesonintégrale surtouttriangleestnullealorsfestholomorphe Remarque : aucune hypothèse n’est faite sur l’ouvert U Exercice7 Autourduprincipederé?exiondeSchwarz a) SoitUunouvertdeC OnsupposequefestholomorphesurUnUR etcontinue

F7 : Séries de Laurent théorème des résidus et ses applications

Exercice 2 Donner le développement en série de Laurent des fonctions suivantes dans des couronnes maximales centrées en : a) z3 exp(1=z); = 0; b) 1 z2 (3 + i)z+ 3i; 2f0;3;ig; c) ez z 1; 2f1;ig: Exercice 3 Déterminer les singularités isolées et la nature de chaque singularité des fonctions dé nies par : a) cosz z; b) exp(1=z); c) log(1

Images

3 1 Développement en série de Laurent Soit rR 2 R+ [{+•}0 r < R L’ouvert C(a;r;R)={z 2 C;r < z a < R} est appelé couronne de centre a de rayon intérieur r et de rayon extérieur R Puisque C(a;r;R) n’est pas un domaine simplement connexe la formule de Cauchy n’est pas valable pour tout lacet G de W

L2 Spécial, Analyse Complexe

TD 4. Singularités, résidus

Exercice 1.Déterminer les singularités des fonctions suivantes, leur nature et les résidus cor-

respondants : a)sinzz

3p2z;b)zsinz;c)exp1z

4 ;d)zcos1z ;e)1z(ez1); f)cotanz1z ;g)exp(1z )z1;h)pcotan(pz);i)1sin(z2): Exercice 2.SoitUun ouvert connexe. Même question que ci-dessus avec : (1) f0f , lorsquefest une fonction holomorphe surU. (2) gh , lorsquegethsont deux fonctions holomorphes surUet queha un pôle simple. (3) f(z)(zz0)n, lorsquefest une fonction holomorphe surU,zo2Uetn2N. Exercice 3.Déterminer la série de Laurent def(z) =1z(z1)(z2)dans les couronnes suivantes: (1) 0Exercice 4.Calculer les résidus de (1) ezsin

2z(z=kp),

(2) coszz

3sinz(z=0);

Exercice 5.Décomposer en série de Laurent dans les diverses couronnes admissibles de centre indiqué, les fonctions suivantes: (1) zsinzz

3(z=0),

(2) z(z1)(z2)(z=1;z=2); (3) zz

2+1(z=i);

(4) ez(z1)3(z=1); (5)

1z+a;(z=0)

(6) 2zz

2+2z+1(z=0):

Exercice 6.Trouver le résidu defjau point 0, sijest holomorphe au voisinage de 0, avec j

0(0)6=0 et sifa un un pôle simple au pointj(0)avec le résiduR.

Exercice 7.Soitgle cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Calculer : 12ipZ ge zezz 4dz: Exercice 8.On notegle cercle de centre 0 et de rayon 3=2 parcouru une fois dans le sens trigonométrique, calculer : Z g5z2+1z(z1)dzetZ gz(z1)2(z+2)dz: Exercice 9.Pourr6=1, on notegrle cercle de centre 0 et de rayonrparcouru une fois dans le sens trigonométrique. Calculer :Z g re

1=zz1dz:

Exercice 10.Considérons le contour suivant (R2R+) :-RR 0

Ra)On fixea2R+. Calculer l"intégrale de

z7!eiaz1+z2 sur ce circuit. En faisant tendreRvers+¥, déduireZ+¥

0cos(ax)1+x2dx:

b)En intégrantzeiz=(1+z2)sur le même contour, calculerZ+¥

0xsinx1+x2dx:

Exercice 11().Soitjune application holomorphe du disque pointé 0

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[PDF] Quelques exercices corrigés (2)