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Faire trois itérations avec h = 0,1 des méthodes d'Euler explicite, d'Euler modi- fiée, du point milieu et de Runge-Kutta d'ordre 4 pour les équations différentielles  

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Réponses aux exercices du chapitre 7

Numéro 1. Faire trois itérations avech= 0,1des méthodes d"Euler explicite, d"Euler modi-

fiée, du point milieu et de Runge-Kutta d"ordre 4 pour les équations différentielles suivantes :

a)y0(t) =tsin(y(t)) (y(0) = 2) b)y0(t) =t2+ (y(t))2+ 1 (y(1) = 0) c)y0(t) =y(t)et(y(0) = 2)

Solution

a) On a y0=tsin(y(t)),y(0) = 2eth= 0,1. On a donc quet0= 0, quey0= 2et que f(tn;yn) =tnsin(yn).

Euler:yn+1=yn+hf(tn;yn)

t n+1=tn+h -y0= 2 -y1= 2 + 0,10sin2 = 2 -y2= 2 + 0,10,1sin2 = 2,0090929 -y3= 2,0090929 + 0,10,2sin2,0090929 = 2,02720249

Euler modifiée :

^y=yn+hf(tn;yn) y n+1=yn+h2 [f(tn;yn) +f(tn+1;^y)] -f(t0;y0) =f(0,2) = 0 ^y=y0+hf(t0;y0) = 2 +h0 = 2 y

1=y0+h2

[f(t0;y0) +f(t0+h;^y)] = 2 + 0,05[0 + 0,1sin(2)] = 2,004546487 -f(t1;y1) = 0,1sin(2,004546487) = 0,0907396 ^y= 2,004546487 + 0,10,0907396 = 2,01362044 f(t2;^y) = 0,2sin(2,01362044) = 0,18070903 y

2= 2,004546487 + 0,05[0,0907396 + 0,18070903] = 2,018118919

De même, on a que y3= 2,040539939.

Runge-Kutta d"ordre 4 :

8 >>>>>:k

1=hf(tn;yn)

k

2=hf(tn+h=2;yn+k1=2)

k

3=hf(tn+h=2;yn+k2=2)

k

4=hf(tn+h;yn+k3)

y n+1=yn+ 1=6(k1+ 2k2+ 2k3+k+ 4) t n+1=tn+h On a queh= 0,1,t0= 0,y0= 2et quef(tn;yn) =tnsin(yn). 1 -P ourla première itération, on obtien t: k

1=hf(t0;y0) = 0,10sin2 = 0

k

2=hf0 + 0,05;2 +02

= 0,1f(0,05,2) = 0,10,05sin2 = 0,004546487 k

3= 0,1f(0,05;2 + 0,004546487=2) = 0,1f(0,05,2,002273244)

= 0,10,05sin(2,002273244) = 0,004541745 k

4= 0,1f(0,1,2,004541745) = 0,00907398

)y1= 2 +16 (k1+ 2k2+ 2k3+k4) = 2,004541741.

De même, on trouve que :

Deuxième itération :

k

1= 0,009074k2= 0,013582k3= 0,013568k4= 0,018032

y

2= 2,01810947

T roisièmeitération : k

1= 0,018032k2= 0,022442k3= 0,022418k4= 0,026751

y

2= 2,04052645

b) On a y0(t) =t2+ (y(t))2+ 1,y(1) = 0eth= 0,1. Donc, on a également quet0= 1, y

0= 0et quef(tn;yn) =t2n+ (yn)2+ 1.

Euler:y1=y0+hf(t0;y0) = 0 + 0,1(12+ 0 + 1)

y

1= 0,2t1= 1,1

y

2=y1+hf(t1;y1) = 0,2 + 0,1(1,12+ 0,22+ 1)

y

2= 0,425t2= 1,2

y

3=y2+hf(t2;y2) = 0,425 + 0,1(1,22+ 0,4252+ 1)

y

3= 0,6870625t3= 1,3

Euler modifiée:

Première itération

^y=y0+hf(t0;y0) = 0 + 0,1f(1,0) = 0,2 y

1=y0+h=2(f(t0;y0) +f(t0+h;^y)) = 0 + 0,05(f(1,0) +f(1,1,0,2)) = 0,2125

t

1= 1,1

Deuxième itération ^y=y1+hf(t1;y1) = 0,2125 + 0,1f(1,1,0,2125) = 0,4380156 y

2=y1+h=2(f(t1;y1) +f(t1+h;^y))

y

2= 0,2125 + 0,05(f(1,1,0,2125) +f(1,2,0,4380156)) = 0,45685069

t

2= 1,2

T roisièmeitération ^y=y2+hf(t2;y2) = 0,45685069 + 0,1f(1,2,0,45685069) = 0,7217219 y

3=y2+h=2(f(t2;y2) +f(t2+h;^y))

y

3= 0,45685069 + 0,05(f(1,2,0,45685069) +f(1,3,0,7217219)) = 0,74983045

t

3= 1,3

Runge-KuttaO(h4):

Première itération

2 k

1= 0,2k2= 0,211250k3= 0,211366k4= 0,225468

y

1= 0,2117831

Deuxième itération k

1= 0,225485k2= 0,242782k3= 0,243351k4= 0,264715

y

2= 0,45552718

T roisièmeitération k

1= 0,264751k2= 0,290813k3= 0,292362k4= 0,420788

y

3= 0,748199

c) On a y0(t) =y(t)et,y(0) = 2eth= 0,1. Donc, on a également quet0= 0,y0= 2et quef(tn;yn) =ynetn.

Euler:y1= 2,2

y

2= 2,4431376

y

3= 2,741543

Euler modifiée:^y= 2,2)y1= 2,2215688

^y= 2,4670901)y2= 2,494994 ^y= 2,7997344)y3= 2,836326

Runge-KuttaO(h4):

Première itération : k

1= 0,2k2= 0,220767k3= 0,221859k4= 0,245553

y

2= 2,2218007

Deuxième itération : k

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