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Exemples La méthode d'Euler, ainsi que des méthodes de Runge et de Heun sont données dans le tableau III 1 Deux méthodes de Kutta dans le tableau III 2

Faire trois itérations avec h = 0,1 des méthodes d'Euler explicite, d'Euler modi- fiée, du point milieu et de Runge-Kutta d'ordre 4 pour les équations différentielles

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Chapitre III

Equations diff´erentielles ordinaires

Un probl`eme d'int´egration, trait´e en Chap.I et d´ej`a difficile, consiste `a trouver une fonctiony(x),

si une fonctionf(x)est donn´ee, tel que y ?=f(x)ouy(x) =y0+? x x

0f(t)dt.

Pour unprobl`eme d'´equation diff´erentiellenous cherchons une fonctiony(x)tel que y ?=f(x,y), y(x0) =y0ouy(x) =y0+? x x

0f(t,y(t))dt(0.1)

o`u, cette-fois-ci, lafonction donn´eef(x,y)d´epend dexet dey. On peut ausssi avoir des´equations

diff ´erentielles d'ordre sup´erieur, comme par exemple y ??=f(x,y,y?), y(x0) =y0, y?(x0) =v0ouy?=v, y(x0) =y0, v ?=f(x,y,v), v(x0) =v0(0.2)

o`u on a ´ecritv(x)`a la place dey?(x). Ceci est un cas sp´eciald'un syst`eme d'´equations diff´eren-

tiellesy?1=f1(x,y1,y2), y1(x0) =y10, y ?2=f2(x,y1,y2), y2(x0) =y20ouy?=f(x,y), y(x0) =y0(0.3)

en notation vectorielle. On peut aussi avoir des syst`emes de trois, quatre etc. ´equations. On peut

encore ´ecrirex=y0(x)avecy?0= 1et rajouter ceci comme ´equation suppl´ementaire au syst`eme.

Ce syst`eme devient alorsun syst`eme autonome

y ?0= 1y0(x0) =x0, y ?1=f1(y0,y1,y2), y1(x0) =y10, y ?2=f2(y0,y1,y2), y2(x0) =y20ouy?=f(y), y(x0) =y0.(0.4) De passer entre ces diverses notations et analogies, va nousguider dans la recherche et dans l'analyse des m´ethodes num´eriques pour ces probl`emes.

Bibliographie sur ce chapitre

J.C. Butcher (1987):The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons. [MA

65/276]

M.Crouzeix &A.L.Mignot (1984):Analyse Num´erique desEquations Diff´erentielles.Masson. [MA65/217]

E. Hairer, S.P. Nørsett & G. Wanner (1993):Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems.

Springer Series in Comput. Math., vol. 8, 2nd edition. [MA 65/245]

60Equations Diff´erentielles Ordinaires

E. Hairer & G. Wanner (1996):Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic

Problems. Springer Series in Comput. Math., vol. 14, 2nd edition. [MA65/245] E. Hairer, C. Lubich & G. Wanner (2002, 2006):Geometric Numerical Integration ; Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer Series in Comput. Math., vol. 31. [MA 65/448], [OBSA 2594], [PHYA 5140]',; ces trois dernierslivres "are often described as the "bibles" of their fields" (SIAM News, Philadelphia Dec. 2003)

P. Henrici (1962):Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons. [MA

65/50]

III.1 Exemples d'

´equations diff´erentielles

Un probl

`eme m´ecanique ; un point qui glisse sur une courbe. Probl

`eme.On veut connaˆıtre le mouvement d'un point de masse glissant, sous effet de la gravit´e

et sans frottement, sur une courbe donn´ee, par exempley= (1-x2)2(voir Fig.III.1, `a gauche). -1 0 1

1ds dy

1 f FIG. III.1:Probl`eme m´ecanique ; un corps glissant dans une double vall´ee

Solution.Malgr´e le fait que tout enfant faisant de la luge connaˆıt leprobl`eme, la solution ana-

lytique est assez difficile. Prenons la longueur d'arcs, avecds=⎷ dx2+dy2=⎷1 +p2dxo`u p=dy

dx, comme coordonn´ee pour d´eterminer la position du corps. La force acc´el´eratricefest, par

Thales,f=mg·dy

ds(voir Fig.III.1, `a droite), o`u nous posons pour la masse etla constante de gravitationm= 1etg= 1. Ainsif=dy ds=dy/dxds/dx=p⎷

1+p2. Avec la vitessev=dsdt, la loi

fondamentale de Newton (1687), remani´ee par Euler (1747) en ´equation diff´erentielle, devient

ds dt=v dv dt=-p⎷1 +p2.(1.1)

Cela ne suffit pas ; `a chaque instant nous devons connaˆıtre lep, pour notre exemplep=y?= 4x3-

4x, Ce qui n´ecessite la connaissance dex. Pour son calcul, nous rajoutons lexavecdx

dt=dxds·dsdt`aquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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[PDF] Réponses aux exercices du chapitre 7