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Méthodes numériques de résolution d"équations différentielles

Brian Stout

brian.stout@fresnel.fr

Université de Provence

Institut Fresnel, Case 161 Faculté de St Jérôme

Marseille, France

Fevrier 2007

Table des matières

1 Problème de Cauchy :2

2 Transformations vers un problème de Cauchy3

2.1 Traitement d"une équation différentielle d"ordre>1. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Equations différentielles à coefficients constants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Exemple - Vol d"un point solide dans un champ de pesanteur.. . . . . . . . . . . 4

2.4 Détermination des paramètres initiaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Solutions numériques des équations différentielles9

3.1 Formulation générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Méthode itérative de Picard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 Exemple : méthode de Picard pour résoudre l"équationd

dty(t) =t-y(t). 11

3.3 Méthodes basées sur la série de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3.1 Méthode d"Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3.2 Méthodes de Taylor d"ordre plus élevés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 Runge Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4.1 Runge Kutta d"ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4.2 Runge Kutta : ordres 3 et 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4.3 Runge Kutta à pas adaptatif et méthodes prédiction correction. . . . . . 21

3.5 Fonctions Euler et Runge Kutta adaptée ày?Rm. . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Applications22

4.1 Mécanique des points solides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.1 Mouvement d"un point solide avec forces de frottement:. . . . . . . . . . 22

4.1.2 Orbite d"un satellite :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Circuits électriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Evolution temporelle des populations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Calcul Formel et Numérique : Licence sciences et technologies, deuxième année Année 2006-2007

Une équation différentielle est une équation qui dépend d"une variabletet d"une fonctionx(t)

et qui contient des dérivées dex(t). Elle s"écrit : F t,x(t),x (1)(t),...,x(m)(t)? = 0oùx(m)(t)≡d mx dtm(1)

L"ordre de cette équation est déterminé par sa dérivée d"ordre le plus élevé. Donc l"équation (

1) est d"ordrem. La solution du problème consiste à trouver une fonctionx(t)qui soit solution de ( 1) et dérivable sur un intervalle fini det?[t

0,t0+T]deR. Souvent dans les applications, la variable

treprésente le temps, ett

0est alors l"instant initial. En général, il n"existe une solution unique

à une équation différentielle qu"une fois certaines conditions limites imposées surx(t)et ses

dérivées. Dans l"exemple de l"équation (

1) lesconditions initialessont les valeurs dex(t0),

x (1)(t0),...,x(m-1)(t0).

1 Problème de Cauchy :

La plupart des méthodes numériques pour résoudre les équations différentielles s"appliquent

à des problèmes du typeproblème de Cauchysuivant le nom donné par les mathématiciens. Ce

problème se formule de la manière suivante :

Trouvery(t)définie et dérivable sur[t

0,t0+T]et à valeurs dansRmtelle que :

dy(t) dt=f(t,y(t))?t?[t0,t0+T] y(t

0) =y0

(2) oùf(t,y(t))est une fonction deR m+1dansRmety0?Rm. Concrètement l"expression, "trouver y(t)à valeurs dansR mavecy0?Rm" consiste à dire pour des applications comme Matlab, que l"inconnuey(t)est un vecteur demfonctions inconnues avec pour condition limite le vecteur y 0: y(t) =y 1(t) y 2(t) y m(t) yquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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