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Examens corrigés
FrançoisDEMARÇAY
Département de Mathématiques d"Orsay
Université Paris-Saclay, France
1. Examen 1
Exercice 1.Soit un ouvert connexe non vide!C, soitz02!, et soit une fonction f2O(!nfz0g)holomorphe en-dehors dez0. On suppose quefest bornée au voisinage de z0, au sens où il existe un rayonr >0assez petit avecD
r(z0)!et il existe une constante06M<1tels que :
sup jzz0j0 =lim"!>0Z
C "(z0)f()z1d: (d)Soient les deux points :1:=z0+rz1z0jz1z0j;
0:=z0rz1z0jz1z0:
Soient aussi deux quantités petites0< < "613
jz1z0j. On construit le contour;" àdeuxtrous de serrure de largeur2qui partent orthogonalement du cercleCr(z0)en les deux points1et0, avec contournement dez1puis dez0le long de cercles de rayon". Dresser une nouvelle figure esthétique dans laquelle tous ces éléments apparaissent clai- rement - couleurs recommandées! (e)Justifier par un théorème du cours que : 0 =Z ;"f()z1d: (f)Montrer que : 0 = 12iZ C r(z0)f()z1d12iZ C "(z1)f()z112iZ C "(z0)f()z1d: 12 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France(g)Montrer que :
f(z1) =12iZ C r(z0)f()z1d: (h)Justifier l"holomorphie dansDr(z0)de la fonction : z7!Z C r(z0)f()zd: (i)Montrer qu"il existe une unique fonction holomorpheef2O(!)telle queef!nfz0g=f.(j)Montrer que tout ce qui précède est encore valable en supposant plus généralement qu"il
existe un exposant06 <1et une constante06M<1tels que : f(z)6M1jzz0j(80