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de S2 \ {N} associe le nombre complexe z correspondant `a l'affixe du point se trouvant `a Exercice 5 11 (Une fonction définie par une intégrale ) Pour z ∈ C 

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1 Examen 1 Exercice 1 (f) On choisit la détermination de la fonction logarithme complexe sur : l'indice de tout point w ∈ C\γ par rapport à γ par l' intégrale :

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sin(x2)dx 5 Formule integrale de Cauchy Exercice 5 1 Calculer l'intégrale de chemin ∮

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Exercice 1 1 9 Soit U un ouvert connexe de C et soient f et g des fonctions b) Application : On note U le plan complexe priv de la demi-droite {z : e(z) ≤ 0, mz = 0} (sans expliciter l'intégrale curviligne et sans la théorie de l'indice) Exercice  

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16 sept 2011 · pour préparer ce recueil d'exercices de TD ont été l'ouvrage de 11 Texte et corrigé du DM1 - 2010-2011 59 Autrement dit, en langage de physicien, l' intégrale (surfacique) de la /fichiers-master1/Analyse_Complexe pdf

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Anneeuniversitaire2006-2007

Premiereanneedel'

CFSdemathematiques

Mathematiquespourl'Ingenieur-S2

Analysecomplexe

EmmanuelPlaut

Tabledesmatieres

Introduction1

Tabledesmatieres

3Fonctionsanalytiques25

Ex.3.3:Simplicationdep

z2...................................39 uides...............43

4SeriesdeLaurent-Residus45

4.3.1IntegralesdutypeZ

+1 1 f(x)dx..............................49

4.3.2IntegralesdutypeZ

+1 1

4.3.3IntegralesdutypeZ

2 0

F(cos;sin)d..........................53

Tabledesmatieres

AProblemescorriges61

Bibliographie67

Introduction

pagecourantmars.

2Introduction

liorercedocument.

Nancy,le27fevrier2008.

EmmanuelPlaut.

Chapitre1

Derivabilitecomplexe

-Applicationsconformes

1.1Rappelsgenerauxsurlesnombrescomplexes

L'ensembledesnombrescomplexes

C=fx+iyavec(x;y)2R2g

(x+iy)+(x0+iy0)=(x+x0)+i(y+y0)(1.1) etdemultiplication (x+iy)(x0+iy0)=xx0yy0+i(yx0+xy0);(1.2) uninversedonnepar1 x+iy=xiyx2+y2:(1.3) i

2=1:(1.4)

z=xiy.Lanormeeuclidiennede R

2s'identieaumodulecomplexe

jzj=p zz=px2+y2;(1.5)

8z2C;1

z= z jzj2:(1.6) deseparation,8z2C;jzj=0()z=0;(1.8)

Onendeduit

8z;z02C;jzz0j

jzjjz0j :(1.10) delasection3.4: z=ei=(cos+isin) ou=jzj;=arg(z)estl'argumentdez:(1.11) argz2];]:(1.12)

Unerelationd'ordrexysurCdevrait^etrere

exive,

8x2C;xx;

antisymetrique,

8x;y2C;[(xy)et(yx)]=)(x=y);

ettransitive

8x;y;z2C;[(xy)et(yz)]=)(xz):

8x;y;z2C;xy=)x+zy+z;

etsacompatibiliteaveclamultiplicationque

8x;y;z2C;[(xy)et(0z)]=)xzyz:

8x2C;x0=)0x:

8x2C;0x=)0x2:

8x2C;x0=)0x2:

Doncsil'ordreetaittotal,

8x2C;(x0)ou(0x);

1.2.Denitionsetnotations5

1.2Denitionsetnotations

estdenie,nes'annulepas. deR2dansR, f(x+iy)=P(x;y)+iQ(x;y)

P(x;y)=Ref(x+iy);

Q(x;y)=Imf(x+iy):

UdeU,c'est-a-diresi

8>0;9r>0telque8z2Ujzj evidemmentondiraque (z)!0quandz!0 f(z)!lquandz!z0 si 3 f(z)l=(zz0):

8>0;9r>0telque8z2Ujzz0j rementavoir f(z(t))!lquandt!t0:

Parexemplelafonction

f(z)=f(x+iy)=(x+iy)3 x3+iy3;

Eneetf(t)!1quandt!0+

alorsquef(it)!1quandt!0+. 0tit

1.3Derivabilitecomplexe-Holomorphie

f(z)f(z0)=(zz0)(f0(z0)+(zz0))(1.14)

P(x;y)P(x0;y0)=axby+r(zz0)xi(zz0)y

enposantz0=x0+iy0;x=xx0;y=yy0. veriant(1.13)telleque @P peutecrireque5

P(x;y)P(x0;y0)=axby+1(zz0)jzz0j;

Q(x;y)Q(x0;y0)=bx+ay+2(zz0)jzz0j;

d'ou

Onpeutdoncenoncerla

@P @x=@Q@yet@P@y=@Q@x(1.18) Alors f0(z0)=a+ib=dfdz=@f@x=i@f@y(1.19) ouencoredf

4Lefaire,enre

5QuellenormedeR2at'onutiliseeici?

1.3.Derivabilitecomplexe-Holomorphie7

Mat =)r !f (x0;y0)= ab ba! :(1.21) section. considereecommeunefonctionde(z; z).Apartirde x=z+ z 2;y=z z 2i; z): @f @z=@f@x@x@z+@f@y@y@z=12 @f@x+i@f@y =12 a+ib+i(b+ia) =0:

Ainsifdoit^etreindependantede

doncserecrire @f @z=0()@f@x+i@f@y=0(1.22)

Ilestmaintenanttempsdedonnerla

les (f+g)0=f0+g0 (fg)0=f0g+fg0:(1.23) surU,dederiveecomplexe f g! 0 =f0gg0fg2:(1.24) composeegfestholomorphesurU,dederivee (gf)0(z)=g0(f(z))f0(z):(1.25) enzeroal'axereel: x y auxlignesQ(z)=constante. !rP !rQ =@P @x@Q@x+@P@y@Q@y=0:(1.26) (i)f0nes'annulepassurU; (iii)saderiveeestdonneepar f10(w)=1 f0(z)aupointw=f(z):(1.27)quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5