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Universit
e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths Fondamentales Int egration et Probabilites 2010-2011 Travaux diriges, feuille 1 : integrales de RiemannRiemann-integrabiliteExercice 1
Montrer que la fonctionf: [0;1]!Rindicatrice deQ\[0;1] (c-a-d denie par 1 six2Qet 0 sinon) n'est pas Riemann integrable.Exercice 2
1) Montrer que la fonctionf: [0;1]![0;1]
f(x) =8 :0 sixirrationnel1 six= 0
1q six=pq fraction irreductible est Riemann-integrable, par deux methodes : - construire pour" >0 une divisionDde [0,1] pour laquelleS(D)<2"ouS(D) est la grande somme de Darboux associee afetD; - montrer quefest limite uniforme de fonctions en escalier.2) Utiliser cette fonction et la fonction indicatrice deQ\[0;1] pour montrer que la Riemann-integrabilite
n'est pas stable par composition. Utiliser la fonction indicatrice deQ\[0;1] pour montrer que la Riemann-
integrabilite n'est pas stable par limite simple.Exercice 3
Soitf: [a;b]!Rune fonction Riemann-integrable (donc bornee) etgune fonction denie sur un segment contenantf([a;b]).1) On supposeglipschitzienne. Montrer quegfest Riemann-integrable.
2) Montrer que toute fonctiongcontinue sur un segment est limite uniforme de fonctions lipschitziennes (on
pourra approchergpar des fonctions anes par morceaux). En deduire que sigest continue alorsgfestRiemann-integrable.
Exercice 4
On dit qu'unef: [a;b]!Rest reglee si elle est limite uniforme d'une suite de fonctions en escaliers.1) Montrer qu'une fonction reglee est Riemann-integrable.
2) Montrer que si une fonctionf: [a;b]!Rest reglee, alors elle a en tout point une limite a droite et une
limite a gauche.(Rem. : la reciproque est vraie.)3) Soitf: [0;1]!Rdenie parf(x) = sin(1=x) six >0 etf(0) = 0. Montrer quefest Riemann-integrable
mais pas reglee. 1Sommes de Riemann
Exercice 5
En utilisant les sommes de Riemann, calculer les limites des suites suivantes: a n=2n1X k=012n+ 3k; bn=1n n1X k=0cos 2kn ; c n=nX k=1pn 2k2n 2; d n=2nX k=nk ; en=2nX k=nsink ; f n=nX k=1n+k2n3+k3; gn=n2nY
k=1k 4kn 2:Exercice 6
En utilisant les sommes de Riemann, calculer la limite (si elle existe) lorsquen!+1de n1X k=0sinnn 2+k2Exercice 7
CalculerR2
0log(12xcos+x2)dpourx0;x6= 1.
Indication : on utilisera les sommes de Riemann apres avoir remarque que12xcos+x2=j1xeij2.Integrales impropresExercice 8
Determiner la nature des integrales suivantes (0 est un parametre) : I 1=Z 10sin(pt)tan(pt)t
2dt ; I2=Z
21cost1pt
dt ; I3=Z 1 0e it1t dt ; I 4=Z 4 edtln (lnt); I5=Z +1 1 sin1t dt :Exercice 9
1)Etudier selon la valeur du parametre2Rla nature de l'integrale
J() =Z
+1 1dtt pt 21:2) CalculerJ() lorsque= 1;2 et 4.
Exercice 10
Soitf:R!Rune fonction continue periodique de periodeT >0, non identiquement nulle, et telle queRT0f(t)dt= 0.
1) SoitF:R!Rune primitive def. Montrer queFest periodique et en deduire queFest bornee (justier
votre reponse). 22) Montrer que la fonctiong(t) =f(t)t
est integrable au sens impropre sur [T;+1).3) Montrer que la fonctionjg(t)jn'est pas integrable au sens impropre sur [T;+1).
Exercice 11 - fonction Gamma
Pour un nombre reels, on considere l'integrale impropre (s) =Z +1 0 ts1etdt:1) Pour quelles valeurs des, (s) est-il bien deni ?
2) Montrer que (s+ 1) =s(s) pour touts >0. En deduire la formule
(n+ 1) =n! pour toutn2N.3) Montrer que (
12 ) =p, puis calculer (n+12 ) pour toutn2N.4) Calculer l'integraleZ+1
0 xnex2dx pour toutn2N.Exercice 12
1) Pour;2R, etudier la convergence des integrales de Riemann impropres
I ;=Z 1 0 xjlnxjdxetJ;=Z 1 2 xjlnxjdx:2) Trouver un equivalent simple du reste
R1AxjlnxjdxquandA! 1pour <1, et un equivalent deRA
2xjlnxjdx, quandA! 1pour >1.
Exercice 13 - integrales de Fresnel
1) En utilisant un changement de variable approprie, montrer que l'integrale impropre suivante est conver-
gente:Z+1 0 eit2dt:2) En deduire la nature des integrales de Fresnel
Z +1 0 sin(t2)dt ;Z +1 0 cos(t2)dt:3) Ces integrales sont-elles absolument convergentes ?
Exercice 14
Soienta >0 etf:R!Cune fonction continue admettant des limites en +1et1. Montrer que l'integrale impropreZ+1 1 (f(x+a)f(x))dx est convergente et la calculer. 3 Suite d'integrales, intervertion limite-integrale, integrales a parametreExercice 15 - integrales de Wallis
On denit pour toutn2N:
W n=Z =2 0 sinn(x)dx:1) a)Verier queWnest bien deni.
b) Montrer queWn=R=20cosn(x)dx.
c) Montrer que la suite (Wn)n0est decroissante.2) Montrer que pour toutn2,nWn= (n1)Wn2.
Indication : on pourra remarquer quesinn(x) = sinn2(x)(1cos2(x)), et utiliser une integration par parties.
3) CalculerW0etW1, et en deduireWnpour totun.
4)a) Montrer queWnest equivalent aWn+1quandn! 1.
b) On poseun= (n+ 1)WnWn+1, pourn0. Que peut-on dire de la suite (un)? c) En deduire que W nr2nquandn! 1:
5) On suppose connue l'equivalence
n!Cpn ne nquandn! 1; pour une certaine constanteC. Montrer a l'aide des questions precedentes queC=p2.Exercice 16
Soient1< a <1 et pourn2N,t2[0;=2],un(t) =ancosn(t).1) Montrer que la serie de fonctionsX
n0u nconverge uniformement sur [0;=2] vers une fonction limite que l'on determinera.2) En deduire queZ=2
0dt1acost=+1X
n=0 Z=2 0 cosn(t)dt! a n:Exercice 17
1) Soientf;g: [a;b]!Rcontinues, avecg0. Montrer qu'il existec2[a;b] tel que
Z b a fg=f(c)Z b a g :2) SoitH:]1;+1[!Rdenie par
H(x) =Z
x2 x1lntdt:Etudier la monotonie deH, son comportement au voisinage de +1et au voisinage de 1 (on pourra utiliser
le resultat de 1) pour l'etude deHen 1). 4Exercice 18
Soitf: [a;b]!C,a < bet pour2R+on denit
I() =Z
b a f(t)sin(t)dt: Claculer la limite deI() quand! 1dans les cas suivants :1)fest constante; 2)festC1; 3)fest en escalier; 4)festCM(continue par morceaux).
Exercice 19
Soitune fonction continue a support compact.
1) Montrer que l'on a : lim
k!1R(t)jsinktjdt=2 R(t)dt. Utiliser le fait queest limite uniforme de fonctions en escaliers (le verier).2) Montrer que si F est une fonction continue periodique de periodeT, on a de m^eme :
lim k!1Z (t)F(kt)dt=1T ZT 0F(u)du
Z (t)dtExercice 20
1) Montrer que ;Z
1011 +xpdx=1X
n=0(1)nnp+ 1(p >0).Indication : on pourra considerer, poura <1, l'integrale de0aaet developper l'integrande en serie entiere;
il faudra ensuite montrer la convergence d'une certaine serie de fonction de la variableaquandatend vers
1.