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x − 2 y dx dy sur D = {(x,y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ e} Corrigé de l' exercice 1 2 On calcule l'intégrale en séparant les variables : ∫∫ D

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[PDF] INTÉGRALES DOUBLES

x − 2 y dx dy sur D = {(x,y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ e} Corrigé de l' exercice 1 2 On calcule l'intégrale en séparant les variables : ∫∫ D

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INTÉGRALES DOUBLES

§ 1. - Intégrales doubles à variables séparables . . . . . . . . . . . . 1 § 2. - Intégrales doubles par intégrations successives . . . . . . . . . 2 § 3. - Intégrales doubles par passage en coordonnées polaires . . . . 3 § 4. - Exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

§ 1. -

Intégrales doubles à v ariablesséparables Rappels de coursUne intégrale double de la forme RR [a;b][c;d]f(x)g(y)dxdypeut se calculer en séparant lesvariables : ZZ [a;b][c;d]f(x)g(y)dxdy= Zb a f(x)dx Zd c g(y)dy :Exercice 1.1.CalculerZZ D

exydxdysurD=f(x;y)2R2jjxj1 ety2[0;1]g.Corrigé de l"exercice 1.1.En utilisant la formuleea+b=eaebet le fait quejxj1() 1

x1()x2[1;1], on peut séparer les variables : ZZ D exydxdy=ZZ [1;1][0;1]exeydxdy= Z1 1exdx Z1 0 eydy [ex]1

1[ey]1

0=(ee1)(1e1)=e1e1+e2:

Exercice 1.2.CalculerZZ

Dj x2jy

dxdysurD=f(x;y)2R2j0x3 et 1yeg.Corrigé de l"exercice 1.2.On calcule l"intégrale en séparant les variables :

ZZ Dj x2jy dxdy= Z3 0 jx2jdx Ze 1dyy 1

La seconde intégrale se primitive directement; pour la première, on enlève les valeurs absolues

en remarquant que : j x+2j=( x2 six2,

2xsix2.

On a donc :

ZZ Dj x2jy dxdy= Z2 0 (2x)dx+Z 3 2 (x2)dx Ze 1dyy 2xx22 2 0 +"x22 2x# 3 2! (ln jejln1) 442
+92
642
+4

1=2+12

=52:

§ 2. -

Intégrales doubles par intégrations successi vesExercice 2.1.CalculerZZ

Ddxdy(1+x2)(1+y2)oùD=f(x;y)2R2j0x1 et 0yxg.Corrigé de l"exercice 2.1.On calcule en faisant deux intégrations successives :

Ddxdy(1+x2)(1+y2)=Z

011+x2

0dy1+y2

dx=Z 1

011+x2arctan(y)x

0dx Z 1

0arctanx1+x2dx:

Cette intégrale est du type

Ru0uoùu(x)=arctanxdonc se primitive en12

u2: ZZ

Ddxdy(1+x2)(1+y2)="12

(arctanx)2# 1 0 =12 4

2=232:

Exercice 2.2.CalculerZZ

dxdysurD=f(x;y)2R2j0y1 etjxjjyjg.Corrigé de l"exercice 2.2.On va faire deux intégrations successives. Avant cela, simplifions la

description domaineD. Puisque 0y1, on ajyj=yet doncjxjjyjs"écritjxjyqui signifie à son touryxyet doncD=f(x;y)2R2j0y1 etyxyg. On a donc : ZZ D dxdy=Z 1 0 Zy ydx dy=Z 1 0 [x]yydy=Zquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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