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x − 2 y dx dy sur D = {(x,y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ e} Corrigé de l' exercice 1 2 On calcule l'intégrale en séparant les variables : ∫∫ D

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2012/2013 Semestre de printemps Université Lyon I Calcul différentiel et intégral Exercices sur les intégrales doubles Exercice 1 Calculer ∫ 1 0 (∫ 1 0

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Quelques corrigés d'exercices des feuilles 5 et 6 Calculer l'intégrale double Avec la deuxième cela donne la même chose (et les calculs à faire sont à peu 

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Corrigé devoir numéro 1 Exercice 1 : Intégrale double (b) L'équation homog` ene associée `a (2) est de la forme (1) avec a = 0 et de plus b = 2 puisque

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Exercice 2 (calculer une intégrale double sur un triangle) Soit ∆ le domaine de R2, bordé par le triangle dont les sommets sont les points A, B, et C de

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Annexe C Annales 2011-2012, Texte et corrigé de l'examen de session 1 17 Annexe D Annales I Exercices en relation avec le chapitre 1 avec a, b > 0 Exercice 20 (calcul d'intégrales doubles par changement de variables, extrait

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Corrigé de l'exercice A 2 8 du chapitre 4 (intégrale double)) On consid`ere le domaine de R2 défini par DR = {(x,y) ∈ R 2 ; x 2 +y 2 ≤ R2 , x ≥ 0, y ≥ 0}

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16 oct 2015 · Calculs d'intégrales doubles Exercice 1 [ 01947 ] [Correction] Calculer I = ∫∫ D xy dx dy avec D = {(x, y) ∈ R2 x, y ⩾ 0 et x + y ⩽ 1}

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Exercice 4 Pour chacune des intégrales suivantes, représenter graphiquement le domaine d'intégration puis calculer l'intégrale en utilisant un changement de 

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1 Intégrales doubles Exercice 1 Soit D := {(x u = x + y et v = x − y Exercice 3 Calculer l'intégrale double b2 ⩽ 1} avec a, b > 0 I5 = ∫∫∫ D5 z dx dy dz

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés1Intégrales doubles

Calculs d"intégrales doubles

Exercice 1[ 01947 ][Correction]

Calculer

I=?? D xydxdy avec

D=?(x,y)?R2|x,y>0etx+y61?

Exercice 2[ 01949 ][Correction]

Calculer

I=?? D x2dxdy oùD=?(x,y)?R2|x61,y>0ety26x?.

Exercice 3[ 01950 ][Correction]

Calculer

D x2dxdy oùDest l"intérieur de l"ellipse d"équation x 2a 2+y2b 2= 1

Exercice 4[ 03373 ][Correction]

a) Donner les coordonnées des foyersFetF?de l"ellipseEd"équation x 2a 2+y2b 2= 1 (avec0< b < a) b) Calculer I=?? D (MF+MF?)dxdy oùDdésigne l"intérieur de l"ellipseExercice 5[ 03746 ][Correction]

Calculer

I=??

Ddxdy(1 +x2)(1 +y2)

avecD=?(x,y)?R2/06y6x61?.

Exercice 6[ 00085 ][Correction]

Calculer

I=?? D sin(x+y)dxdy oùD=?(x,y)?R2|x,y>0etx+y6π?.

Exercice 7[ 00086 ][Correction]

Calculer

I=?? D yx2dxdy oùD=?(x,y)?R2|x61,y>0ety26x?.

Exercice 8[ 00096 ][Correction]

Calculer??

(x3-2y)dxdy avec (x,y)?R2/x>0,y>0,x2a 2+y2b 261?
On pourra utiliser le changement de variablex=aucosθety=businθ.

Exercice 9[ 02914 ][Correction]

Soit I n=?? [0,1]2dxdy1 +xn+yn

Déterminer la limite deInquandn→+∞.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés2Exercice 10[ 03365 ][Correction]

Calculer???

D (x+y+z)2dxdydz où

D=?(x,y,z)?R3,x>0,y>0,z>0,x+y+z61?

Exercice 11[ 03815 ][Correction]

Calculer??

D (xy+ 1)dxdy où

D=?(x,y)?(R+)2/y+x-160?

Exercice 12[ 02564 ][Correction]

Dessiner

D=?(x,y)?R2,x>0,16xy62,16x2-y264?

Montrer queφ(x,y) = (xy,x2-y2)est unC1difféomorphisme sur]0,+∞[2.

Expliciterφ(D).

Calculer

I=?? D f(x,y)dxdyoùf(x,y) =xy(x2+y2)x 2-y2

Etudier les extrema def.

Calculs d"intégrales doubles en coordonnées po- laires

Exercice 13[ 01951 ][Correction]

Calculer

I=?? D cos(x2+y2)dxdy oùDest le disque de centreOet de rayonR.Exercice 14[ 01952 ][Correction]

Calculer

D sin(x2+y2)dxdy oùDdésigne le disque de centreOet de rayon⎷π.

Exercice 15[ 01953 ][Correction]

Calculer

I=?? Dx

2+y2x+?x

2+y2dxdy

oùDest le quart de disque unité inclus dansR+×R+.

Exercice 16[ 01954 ][Correction]

Calculer

D xdxdy oùDdésigne le domaine borné délimité par la cardioïde d"équation polaire

ρ= 1 + cosθ.

Exercice 17[ 01957 ][Correction]

Calculer

D xdxdy oùD=?(x,y)?R2/x2+y2-x60?.

Exercice 18[ 03396 ][Correction]

Calculer

I=?? D (1 +xy)dxdy oùDdésigne le disque fermé de centreOet de rayon 1.

Exercice 19[ 00089 ][Correction]

Calculer

I=?? D x2y2dxdy oùDest l"intérieur de la boucle de la lemniscate d"équation polairer=⎷cos2θ obtenue pourθ?[-π/4,π/4]. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés3Exercice 20[ 00090 ][Correction]

Calculer

D (x+y)2dxdy

Exercice 21[ 00095 ][Correction]

Calculer

Ddxdy(1 +x2+y2)2

oùDest donné par|x|6x2+y261.

Exercice 22[ 03200 ][Correction]

Ddésigne le demi-disque supérieur de centre(1,0)et de rayon 1. Calculer I=??

Dy1 +x2+y2dxdy

Applications du calcul d"intégrales doubles

Exercice 23[ 00093 ][Correction]

SoitR >0. On note

A

R= [0,R]×[0,R]etBR=?(x,y)?R2/x,y>0etx2+y26R2?

On pose

f(R) =?? A

Rexp(-(x2+y2))dxdyetg(R) =??

B

Rexp(-(x2+y2))dxdy

a) Montrer queg(R)6f(R)6g(R⎷2). b) En déduire la valeur de?+∞ 0 e-t2dt

Exercice 24[ 02546 ][Correction]

SoitC(R)le quart de disquex>0,y>0,x2+y26R2,R >0.a) Montrer que ??R 0 e-t2dt? 2 est compris entre

C(R)e-x2-y2dxdyet??

C(R⎷2)

e-x2-y2dxdy b) Calculer

C(R)e-x2-y2dxdy

c) En déduire la valeur de 0 e-t2dt

Exercice 25[ 00097 ][Correction]

a) Justifier la convergence de 0 cos(u2)duet? 0 sin(u2)du b) Soitf: [0,π/2]→R+?une application continue. Pourt >0on pose D et on introduit ?(t) =?? D tsin(x2+y2)dxdyetψ(t) =?? D tcos(x2+y2)dxdy Déterminer les limites, quandTtend vers+∞de 1T T 0 ?et1T T 0 c) On choisitfpour queD1= [0,1]2. On pose

C(t) =?

t 0 cos(u2)duetS(t) =? t 0 sin(u2)du Montrer que?(t) = 2C(t)S(t)etψ(t) =C(t)2-S(t)2. d) En déduire les valeurs des intégrales de Fresnel 0 cos(u2)duet? 0 sin(u2)du Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés4Exercice 26[ 03515 ][Correction]

Calculer

I=?

0sintt

dt en utilisant l"intégrale double

J(u) =??

[0,u]2sin(x)e-xydxdy

Exercice 27[ 00091 ][Correction]

Soient1< a < b. En calculant de deux manières

0? b adxx-costdt déterminer 0 lnb-costa-costdt

Exercice 28[ 00092 ][Correction]

Observer que pour toutx?[0,1],

ln(1 +x) =? 1

0xdy1 +xy

En déduire la valeur de

I=? 1

0ln(1 +x)dx1 +x2

Formule de Green Riemann

Exercice 29[ 03363 ][Correction]

Soit(a,b)?R2,a >0,b >0. On noteΓl"ellipse d"équation x 2a 2+y2b

2-1 = 0

etDla partie deR2définie par x 2a 2+y2b

2-160a) Calculer l"intégrale double

I=?? D (x2+y2)dxdy (on poserax=arcosθety=brsinθ) b) Calculer l"intégrale curviligne J=? (y3dx-x3dy) c) Quelle relation existe-t-il entreIetJ?

Exercice 30[ 00269 ][Correction]

SoitΓla courbe orientée dans le sens trigonométrique, constituée des deux portions de courbes, comprises entre les points d"intersection, de la droite d"équationy=xet de la parabole d"équationy=x2. a) Calculer I=? (y+xy)dx b) En utilisant la formule de Green-Riemann, retrouver la valeur de cette intégrale.

Exercice 31[ 00108 ][Correction]

On considèref:R2→Rde classeC2vérifiant :

2f∂x

2+∂2f∂y

2= 0

Soit?:R+→Rdéfinie par

?(r) =? 2π 0 f(rcosθ,rsinθ)dθ a) Montrer que la fonction?est dérivable. b) Calculer??et en déduire une expression?. On pourra interpréterr??(r) comme la circulation d"une forme différentielle sur un contour simple. c) SoitDle disque de centre 0 et de rayonR. Quelle est la valeur de D f(x,y)dxdy? Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés5Calcul d"aires

Exercice 32[ 00111 ][Correction]

Calculer l"aire de la portion bornée du plan délimitée par l"ellipse donnée par ?x(t) =acost y(t) =bsint(aveca,b >0)

Exercice 33[ 00079 ][Correction]

Calculer l"aire de la portion bornée du plan délimitée par l"astroïde donnée par ?x(t) =acos3t y(t) =asin3t(aveca >0)

Exercice 34[ 00606 ][Correction]

Calculer l"aire de la portion bornée du plan délimitée par l"arche de la cycloïde ?x(t) =t-sint y(t) = 1-cost obtenue pourt?[0,2π]et l"axe des abscisses.

Exercice 35[ 02462 ][Correction]

Calculer l"aire de la portion bornée du plan délimitée par la courbe définie par ?x(t) = cos2t y(t) = (1 + sint)cost

Exercice 36[ 00112 ][Correction]

Calculer l"aire de la portion bornée du plan délimitée par la cardioïde d"équation polaire r= 1 + cosθ

Exercice 37[ 00069 ][Correction]

Calculer l"aire de la portion bornée du plan délimitée par la lemniscate d"équation polaire r=⎷cos2θExercice 38[ 00062 ][Correction] Calculer l"aire de la boucle de la strophoïde droite d"équation polaire r=cos2θcosθ

Exercice 39[ 00110 ][Correction]

[Inégalité isopérimétrique] Soitγune application de classeC1et2π-périodique deRversCtelle que ?s?R,|γ?(s)|= 1 On noteSl"aire orientée délimitée parγ[0,2π]. a) ExprimerSà l"aide des coefficients de Fourier exponentiels deγ. b) MontrerS6πet préciser le cas d"égalité.

Exercice 40[ 03769 ][Correction]

On considère la courbe paramétrée du plan donnée par ??x(t) =t1 +t4 y(t) =t31 +t4avect?R a) Déterminer centre de symétrie et axe de symétrie. Indice : calculerx(1/t) ety(1/t). b) Voici l"allure de la courbe surR. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés6Calculer l"aire intérieure délimitée par cette courbe.

Intégrales doubles sur un produit d"intervalles

Exercice 41[ 02919 ][Correction]

Calculer??

[0,+∞[2y(1 +x2+y2)2dxdy

Exercice 42[ 00098 ][Correction]

En calculant de deux façons??

]0,1]2xydxdy déterminer la valeur de ?1

0t-1lntdtExercice 43[ 00099 ][Correction]

En calculant de deux façons

[0,π]×[0,1[11 +ycosxdxdy déterminer la valeur de

0ln(1 + cost)costdt

Exercice 44[ 00100 ][Correction]

En calculant de deux façons

[0,+∞[2e-(x2+y2)dxdy déterminer la valeur de 0 e-t2dt

Exercice 45[ 00101 ][Correction]

On pose

I=?? ]0,+∞[2e-(x2+y2)dxdy a) Justifier l"existence deIet établir I=? x=0? u=0xe-(1+u2)x2du? dx b) En déduire la valeur de 0 e-t2dt

Exercice 46[ 00102 ][Correction]

Que dire de l"intégrale double

Dx-y(x+y)3dxdy

oùD= ]0,1]×[0,1]? Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés7Exercice 47[ 00250 ][Correction]

Calculer

R +×R+dxdy(1 +x2)(1 +y2)

En déduire

?π/2

0ln(tanθ)cos2θdθet?

0lntt 2-1dt

Exercice 48[ 00270 ][Correction]

SoitA? M2(R)une matrice symétrique définie positive. Calculer I=?? R

2exp(-tXAX)dxdy

ouXdésigne le vecteur de coordonnées(x,y).

Exercice 49[ 03514 ][Correction]

Calculer

]0,1[×]0,π/2[dxdy1 + (xtany)2 et en déduire la valeur de l"intégrale

π/2

0ytanydy

Exercice 50[ 03690 ][Correction]

Existence et calcul de

I=?? ]0,1]2min(x,y)max(x,y)dxdy

Exercice 51[ 02557 ][Correction]

a) Domaine de définition des fonctions

B(x,y) =?

1 0 ux-1(1-u)y-1duet deΓ(x) =? 0 ux-1e-udu b) Montrer que ?x?]0,+∞[,Γ(x) = 2? 0 u2x-1e-u2duc) EcrireΓ(x)Γ(y)sous forme d"une intégrale double. d) A l"aide des coordonnées polaires, montrer que

B(x,y) =Γ(x)Γ(y)Γ(x+y)

e) Montrer que ?x?R?+,Γ(x+ 1) =xΓ(x) et en déduireB(m,n)pourm,n?N?. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Corrections8Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

Puisque

D=?(x,y)?R2/06x61et06y61-x?

on peut calculer l"intégrale I=? 1 0? ?1-x 0 xydy? dx=? 1 012 x(1-x)2dx=124

Exercice 2 :[énoncé]

On peut décrireDsous la forme

D=?(x,y)?R2/06x61et 06y6⎷x

et ainsi exprimer l"intégrale étudiée I=? 1 0? ⎷x 0 x2dydx=? 1 0 x5/2dx=27

Exercice 3 :[énoncé]??

Dx2dxdy=?a

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