Quelques corrigés d'exercices des feuilles 5 et 6 Calculer l'intégrale double Avec la deuxième cela donne la même chose (et les calculs à faire sont à peu
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x − 2 y dx dy sur D = {(x,y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ e} Corrigé de l' exercice 1 2 On calcule l'intégrale en séparant les variables : ∫∫ D
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2012/2013 Semestre de printemps Université Lyon I Calcul différentiel et intégral Exercices sur les intégrales doubles Exercice 1 Calculer ∫ 1 0 (∫ 1 0
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Quelques corrigés d'exercices des feuilles 5 et 6 Calculer l'intégrale double Avec la deuxième cela donne la même chose (et les calculs à faire sont à peu
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Corrigé devoir numéro 1 Exercice 1 : Intégrale double (b) L'équation homog` ene associée `a (2) est de la forme (1) avec a = 0 et de plus b = 2 puisque
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Exercice 2 (calculer une intégrale double sur un triangle) Soit ∆ le domaine de R2, bordé par le triangle dont les sommets sont les points A, B, et C de
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Annexe C Annales 2011-2012, Texte et corrigé de l'examen de session 1 17 Annexe D Annales I Exercices en relation avec le chapitre 1 avec a, b > 0 Exercice 20 (calcul d'intégrales doubles par changement de variables, extrait
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Corrigé de l'exercice A 2 8 du chapitre 4 (intégrale double)) On consid`ere le domaine de R2 défini par DR = {(x,y) ∈ R 2 ; x 2 +y 2 ≤ R2 , x ≥ 0, y ≥ 0}
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16 oct 2015 · Calculs d'intégrales doubles Exercice 1 [ 01947 ] [Correction] Calculer I = ∫∫ D xy dx dy avec D = {(x, y) ∈ R2 x, y ⩾ 0 et x + y ⩽ 1}
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Exercice 4 Pour chacune des intégrales suivantes, représenter graphiquement le domaine d'intégration puis calculer l'intégrale en utilisant un changement de
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1 Intégrales doubles Exercice 1 Soit D := {(x u = x + y et v = x − y Exercice 3 Calculer l'intégrale double b2 ⩽ 1} avec a, b > 0 I5 = ∫∫∫ D5 z dx dy dz
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MIEEVAR2011-2012Quelques corrigés d"exercices des feuilles 5 et 6
Calculer l"intégrale double
R xcos(x+y)dxdy,Rrégion triangulaire de som- mets(0,0),(π,0),(π,π). On intègre par tranche. On peut le faire de deux façons : R xcos(x+y)dxdy=? 0 x 0 xcos(x+y)dy)dx ou R xcos(x+y)dxdy=? 0 y xcos(x+y)dx)dySi on prend la première expression on obtient
0 x 0 xcos(x+y)dy)dx=? 0 [xsin(x+y)]y=x y=0dx 0 (xsin2x)-xsin(x))dx = [-xcos(2x)/2]π0+? 0 cos(2x)/2dx-[-xcos(x)]π0-? 0 cos(x)dx =-π/2 + 0-π+ 0 =-3π/2 Avec la deuxième cela donne la même chose (et les calculs à faire sont à peu près les mêmes; dans certains cas le calcul est beaucoup plus simple en intégrant dans un ordre que dans l"autre)? 0 y xcos(x+y)dx)dy=? 0 ([xsin(x+y)]x=πx=y-? y sin(x+y)dx)dy 0 (πsin(π+y)-ysin(2y))dy-? 0 [-cos(x+y)]πydy = [-πcos(π+y)]π0+ [ycos(2y)/2]π0-? 0 cos(2y)/2dy 0 [cos(2y)-cos(y+π)]dy =-2π+π/2 + 0 + 0 + 0 =-3π/2Calculer l"intégrale double??
R x2dxdylorsqueR={(x,y)|x?0,1?x2+y2? 2}.La forme du domaine incite à utiliser le système des coordonnées polaires. L"intégrale sur
l"anneau est l"intégrale sur l"image de]1,⎷2[×]0,2π[par l"applicationF,C1bijective de
]1,⎷2[×]0,2π[sur son image (l"anneau privé d"un segment), définie par F: (ρ,θ)?→(ρcos(θ),ρsin(θ)). 1MIEEVAR2011-2012On a vu en cours (et dans un exercice; il faut savoir le retrouver) que le jacobien de cette
fonction estρ. On a : R x2dxdy=??F(]1,⎷2[×]0,2π[)x2dxdy
⎷2 1ρ3dρ.?
2π 0 cos2(θ)dθ = [ρ4/4]⎷2 1.? 2π 0 (1 + cos(2θ))/2dθ = 3π/4 Calculer l"aire de la région du plan suivanteD={(x,y)|y?x?y2,1?y?2}.Par définition cette aire est donnée par l"intégrale de la fonction constante égale à 1 sur
le domaineD. On calcule ensuite par tranche l"intégrale obtenue : D dxdy=? 2 1 y2 y dx)dy 2 1 (y2-y)dy = [y3/3-y2/2]21 = 7/3-3/2 = 5/6Calculer l"intégrale triple :
V?x2+y2+z2dx dy dzoùVest la boule de
centre (0,0,0) et de rayonR. Le domaine d"intégration est une boule centrée en 0. L"utilisation des coordonnées sphé- riques peut être intéressant dans ce cas. L"application F: (ρ,θ,φ)?→(ρcos(θ)sin(φ),ρsin(θ)sin(φ),ρcos(φ)) est une applicationC1bijective de]0,R[×]0,2π[×]0,π[sur son image. Cette image est la boule de centreRprivé de son bord et de la partie de la boule appartenant au demi- plan{(x,z,0)/ x≥0,z?R}. Ces parties manquantes de la boule sont de dimension2; leur volume est nul. L"intégrale sur la boule est égale à l"intégrale sur l"image de
]0,R[×]0,2π[×]0,π[parF.Le jacobien deFestρ2sin(φ). Il faut savoir faire ce calcul. Je l"ai fait en cours. Le théorème
du changements de variables donne ici : V?x2+y2+z2dx dy dz=???
F(]0,R[×]0,2π[×]0,π[)?x
2+y2+z2dx dy dz
]0,R[×]0,2π[×]0,π[ρ ρ2sin(φ)dρ dθ dφ 2MIEEVAR2011-2012On intègre ensuite par tranche. C"est particulièrement simple ici car le domaine est un
pavé et la fonction à intégrer un produit de fonctions dépendant de chaque coordonnée.