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Universit´e Claude Bernard - Lyon 1Semestre d"automne 2015-2016
Maths III PMI - Analyse
Feuille d"exercices no4
Topologie des espaces vectoriels norm
´es
I. Ouverts, ferm´es
Exercice 1.Montrer en utilisant la d´efinition d"un ouvert et d"un ferm´e que:1. Tout ouvert deR
nest une r´eunion de boules ouvertes.2. L"ensemble ]a,b[,a < best ouvert dansR.
3. L"ensemble [a,b],a < best ferm´e dansR.
4. L"ensemble [a,b[,a < bn"est ni ouvert ni ferm´e dansR.
5. L"ensemble{1/n, n?N
?} ? {0}est ferm´e dansR.6. L"ensemble{1/n, n?N
?}n"est ni ouvert ni ferm´e dansR.7. SiFest un sous-espace vectoriel deR
ncontenant une boule ouverte, alorsF=Rn.Exercice 2.D´eterminer si les ensembles suivants sont ouverts, ferm´es, ni ouverts ni ferm´es.
1. L"intervalle dansR
2:{(x,y)?R2|1< x <3,y= 0.}
2. Le cercle unitaire :{(x,y)?R
2|x2+y2= 1.}
3. Le disque :{(x,y)?R
Exercice 3.SoitEun espace vectoriel norm´e. On fixex0?Fet on d´efinit
f:E?-→E u-→x 0+u1. Montrer que siU?Eest une partie ouverte, alorsf(U) est aussi une partie ouverte deE.
2. Montrer que siF?Eest une partie ferm´ee, alorsf(F) est aussi une partie ferm´ee deE.
Exercice 4.
1. Montrer que si{U
I? i=1Uiest un ouvert deRn.
2. D´eterminer
n?N?]-1/n,1/n[ et en d´eduire que le r´esultat pr´ec´edent ne se g´en´eralise pas lorsque l"on consid`ere
une famille infinie d"ouverts.3. Enoncer (et d´emontrer) les r´esultats analogues `a ceux qui pr´ec`edent concernant l"union de familles de ferm´es.
Exercice 5.D´emontrer queZest une partie ferm´ee deR:1. en observant que son compl´ementaire est ouvert,
2. par la caract´erisation s´equentielle des parties ferm´ees.
1Exercice 6.SoitEun espace vectoriel norm´e. D´emontrer que l"int´erieur d"une boule ferm´ee est la boule ouverte
de mˆeme rayon. Exercice 7.Soit (E,? ?) un espace vectoriel norm´e. Pour une partieXdeE, on noteX ◦l"int´erieur deX. SoientA,Bdeux parties deE.
1. On suppose queA?B. Montrer queA
◦?B◦.2. Comparer les ensembles (A∩B)
◦etA◦∩B◦, puis les ensembles (A?B)◦etA◦?B◦.Exercice 8.D´eterminer l"int´erieur des ensembles suivants. D´eterminer ´egalement s"ils sont ouverts, ferm´es, ni
ouverts ni ferm´es.A={(x,y,z)?R
B={( 1 n,1 m)?R2|n,m?N?},Exercice 9. Voisinage
SoitPun point deR
n. En g´en´eral on dit qu"une fonctionfv´erifie une certaine propri´et´e dans un voisinage deP
si cette propri´et´e est satisfaite au moins dans un ensemble ouvertcontenantP.1. Etablir si les fonctionsf:R→Rsuivantes sontpositivesau voisinage de l"origine :
f(x) =? sin(1/x), x?= 01, x= 0, g(x) =?
1 +xsin(1/x), x?= 0
1, x= 0.
2. Etablir si les fonctionsf:R
2→Rsuivantes sontd´efiniesau voisinage de l"origine :
f(x,y) =⎷ x+y, f(x,y) = ln(cos(x2+y2)).II. Compacts
Exercice 10.D´eterminer si les ensembles suivants deR2sont, ou ne sont pas, compacts :
1.A={(x,y)?R
2|x2+y4= 1},
2.B={(x,y)?R
2|x2+y5= 2},
3.C={(x,y)?R
5.E={(x,y)?R
2|y2=x(1-2x)}.
Exercice 11.SoitEun espace vectoriel norm´e. SoientAetBdes parties deE. On d´efinitA+B={a+b|(a,b)?
A×B}.
1. Montrer que siAest compact etBferm´e dansEalorsA+Best ferm´e dansE.
2. Montrer que siAetBsont compactes alorsA+Bl"est aussi.
3. SoientA=R× {0}etB={(x,y)?R
2|xy= 1}. Montrer queAetBsont des ferm´es deR2mais que
A+Bn"en est pas un.
Exercice 12.Soit (E,?.?) un espace vectoriel norm´e etX?Eune partie compacte. Montrer que toute partie
ferm´ee deXest elle-mˆeme compacte. 2quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30