Exercice 1 – Ouverts, fermés a) L'intervalle [0;1[ est-il ouvert (resp fermé) dans R ? b) Dans R2 euclidien, les parties suivantes sont-elles des ouverts :
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Dans toute la suite on suppose que (E,d) est un espace métrique 1 2 Ouverts, fermés Définition Pour tout x0 ∈ E et tout r > 0, on appelle boule ouverte de
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L'ensemble {1/n, n ∈ N∗} n'est ni ouvert ni fermé dans R 7 Si F est un sous- espace vectoriel de Rn contenant une boule ouverte, alors F = Rn Exercice 2
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Montrer que [0,1[×]0,1[ n'est ni ouvert, ni fermé dans R2 Exercice 4 1 Montrer que si A et B sont deux ensembles ouverts de Rd, alors leur somme A + B est
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Exercice 1 – Ouverts, fermés a) L'intervalle [0;1[ est-il ouvert (resp fermé) dans R ? b) Dans R2 euclidien, les parties suivantes sont-elles des ouverts :
[PDF] 1 Espaces métriques Ouverts, fermés ¯ Exercice 1 1 Soient d et δ
Soient E un espace vectoriel normé, r un nombre réel, r > 0 et a ∈ E 1 Montrer que l'intérieur de la boule fermé ¯B(a, r) est la boule ouverte B(a, r)
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16 mai 2005 · Ils sont a fortiori ouvert (resp fermé) dans E En revanche, B et C ne sont ni ouverts, ni fermés dans R Proposition 8 Soit E un
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(i) ∅ ∈ O et E ∈ O, (ii) toute réunion d'ouverts est un ouvert, (iii) toute intersection finie d'ouverts est un ouvert L'ensemble O est appelé une topologie de E
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Les intervalles de R sont des ouverts de R ssi ce sont des intervalles ouverts Ouf Toute Boule ]a,+∞[ est ouvert mais ]0,1] n'est ni ouvert ni fermé dans R
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Démonstration Admis (pour le moment) 1 3 Ensembles ouverts et ensembles fermés 1 3 1 Boules ouvertes ou fermées
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Universite Lille IL3 Maths
2013-2014M-52
2 - VOCABULAIRE DES ESPACES TOPOLOGIQUESQuizz
Exercice 1 { Ouverts, fermes
a) L'intervalle [0;1[ est-il ouvert (resp. ferme) dansR? b) DansR2euclidien, les parties suivantes sont-elles des ouverts : f(x;y)=1< x <1;1< y <1g;f(x;y)=1x <1;1y <1gExercice 2 { Topologie induite
a) Decrire les ouverts et les fermes de [a;b[ et [a;+1[ pour la topologie induite parR. b) DansR2, on considere l'axe des abscissesAeta2A: quel est le lien entre les voisinages deadansAet dansR2?
Exercice 3 { Adherence, suites
a) SiAest a la fois dense et ferme dansX, que peut-on dire?b) Soit (xn) une suite dans un espace metrique : montrer que si (xn) converge, elle n'a qu'une seule valeur
d'adherence, mais que la reciproque est fausse.Pour s'entra^nerExercice 4
a) PourXun ensemble muni de la distance discrete, decrire les boules ouvertes, les boules fermees, puis
les ouverts et les fermes. b) DansR2euclidien, ]0;1[f0gest-il ouvert? [0;1] f0gest-il ferme?Exercice 5
a) Soit (E;d) un espace metrique etAE,x2E: montrer quex2A,d(x;A) = 0. b) Montrer que dans un espace metrique, les singletons sont fermes.Exercice 6
On sait que pour tous nombres reelsx < y, il existe un rationnelr2]x;y[. a) En deduire que tout reelxest limite d'une suite de rationnels (rn)n. b) Verier quern= 10nE(10nx) convient. 1Exercice 7
SoitE=C([0;1];R) muni de la normeN1, etA=ff2Ej 8t2[0;1]; f(t)>0g. Montrer que pour toutf2A, il exister >0 tel queB(f;r)A. Que peut-on en deduire surA?Exercice 8
a) Montrer que siABsont deux parties d'un espace topologiqueX, alorsABetAB. b) Verier queA=AetA=A. Montrer que
AAetAA, mais que ces deux inclusions peuvent ^etre strictes (par exemple pourA=QdansR).Exercice 9
SoitEunK-espace vectoriel norme. Montrer queAEest d'interieur non vide si et seulement siA contient une boule ouverte. En deduire que tout sous-espace vectoriel strictFdeEest d'interieur vide (raisonner par l'absurde, et montrer queFcontient alorsE). Les essentielsExercice 10 { Un exemple d'espace topologique non separe SurX=R2, on denitOcomme l'ensemble des parties deXqui sont reunion de droites verticales, augmente de;. a) Montrer queOdenit une topologie surX. En donner une base. b) Pourx= (a;b)2X, decrire les voisinages dex. S'agit-il de la topologie euclidienne surR2? c) Un espace topologique est ditseparesi pour tousx6=y, on peut trouver deux ouverts disjointsU3x etV3y. Montrer queXn'est pas separe. d) Soitxn= (0;1=n) : verier que tout point (0;b) est limite dansXde la suite (xn). e) Quelle est la topologie induite sur l'axe des abscisses? Sur l'axe des ordonnees?Exercice 11
Soit (E1;d1) et (E2;d2) deux espaces metriques. Dans l'espace (E1E2;dmax), on sait (cours) que tout produit de fermes est un ferme. En deduire que tout produit d'ouverts est un ouvert.Exercice 12
Soit (E;d) un espace metrique.
a) Montrer queB(a;r)BF(a;r) et donner un exemple d'inclusion stricte (on pourra considerer par exempleE=f0g [[1;+1[). b) Montrer qu'il y a egalite dans unK-espace vectoriel norme.Exercice 13
SoitE=`1(C) l'ensemble des suites bornees, muni de la normeN1. a) Montrer, en utilisant la denition d'un ferme, queF=fu= (un)2E= u0= 1gest ferme dansE. b) Pourk2N, on pose v (k)= (0;:::;0;1;0;:::;0;:::) ou le 1 se trouve a lakieme place. CalculerN1(v(k)) etN1(v(k)v(l)). En deduire que (v(k))kest une suite d'elements de la boule unite fermee deEqui n'admet aucune sous-suite convergente.c) SoitAl'ensemble des suitesstationnaires(i.e.constantes a partir d'un certain rang), etula suite de
terme generalun=1n+1: montrer queu2A. 2