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1 RÉGIMES TRANSITOIRES - CIRCUIT RLC - corrigé des exercices A. EXERCICE DE BASE I. Régime propre d'un circuit RLC 1. • Lʼéquation différentielle qui décrit le régime "propre" dʼun circui t RLC-série peut sʼécrire (loi des mailles) : R i + L !
di dt q C = 0 avec i = ! dq dt . Ceci correspond à : q•• + 2α q• + ω02 q = 0 avec α = ! R 2L et ω0 = ! 1 LC. • En régime "propre" peu amorti (R faible, tel que α < ω0) les solutions sont pseudo-périodiques, de la forme : q = q0 e-αt cos(ωt + φ) avec ω = !
0 2 2 . La pseudo-période est donc : T = ! 2" 2" 0 2 2 avec ω0 = ! 2" T 0 et donc : T = ! T 0 1" T 0 2$ 2. ◊ remarque : on retrouve bien ainsi T → T0 quand R → 0 (α → 0). • En développant à lʼordre le plus bas : T ≈ T0 !
1+ 1 2 T 0 2# 2 et β = ! T"T 0 T 0 1 2 T 0 2# 2 . La limite β < 10-3 correspond alors à : α = ! R 2L 2" T 0 2.10 "3 cʼest-à-dire : R < ! 8.10 "3 L C = 2,83 Ω. 2. • Le facteur de qualité peut sʼécrire : Q = ! L" 0 R #T 0 . Si on utilise l approximation : β = ! T"T 0 T 0 1 2 T 0 2# 2= 18Q2, on obtient alors pour la résonance aiguë : β ≈ 1,2.10-3 ; on peut donc en conclure quʼun circuit RLC peu amorti, et donc très résonant, effectue des oscillations libres très semblables aux oscillations forcées résonantes. • Pour une résonance "moyenne", lʼapproximation : β = !
T"T 0 T 0≈ 18Q2 donne : β ≈ 0,12 ; on peut donc en conclure quʼun circuit RLC moyennement amorti, et donc médiocrement résonant, effectue des pseudo-oscillations libres à peu près semblables aux oscillations forcées résonantes. • Pour une résonance floue, lʼapproximation : β = !
T"T 0 T 0 di dt . 1.b. • La loi des mailles impose : R iʼ = ! q C . La charge du condensateur impose : i" = ! dq dt2 1.c. • La combinaison des équations précédentes donne : !
d 2 i dt 2 1 RC di dt 1 LC i = ! 1 LC ic. 2.a. • En posant α = ! 1 2RC et ω0 = ! 1 LC l'équation précédente s'écrit : ! d 2 i dt 2 + 2α! di dt+ ω02 i = ω02 ic. • Le discriminant réduit de l'équation caractéristique correspondante est : Δʼ = α2 - ω02 < 0. • Pour t < 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : i = e-αt [A cos(ωt) + B sin(ωt)] avec la pseudo-pulsation ω = !
0 2 2. La situation étant invariante pour tout t < 0, la seule solution possible est : i = 0. On en déduit par conséquent : iʼ = !
L R di dt = 0 et i" = RC! d" i dt= 0. • Pour t ≥ 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : i = I + e-αt [A cos(ωt) + B sin(ωt)] et les conditions initiales imposent : i = I - I e-αt [cos(ωt) + !
sin(ωt)]. On en déduit par suite : iʼ = ! L R di dt = = I e-αt ! 2" sin(ωt) et i" = RC! d" i dt = I e-αt [cos(ωt) - !sin(ωt)]. 2.b. • Les allures des variations respectives des courants i, iʼ et i" sont les suivantes : -0,5
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 -505101520 t i(t)3 -0,6
-0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 -505101520 t i'(t) -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 -505101520 t i'(t)3.a. • Avec les mêmes notations, le discriminant réduit de l'équation caractéristique est : Δʼ = α2 - ω02 > 0. • Pour t < 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : i = A e-λt + B e-µt en posant β = = !
2 0 2; λ = α - β et µ = α + β > λ. La situation étant invariante pour tout t < 0, la seule solution possible est : i = 0. On en déduit par conséquent : iʼ = !
L R di dt = 0 et i" = RC! d" i dt= 0. • Pour t ≥ 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : i = I + A e-λt + B e-µt et les condi-tions initiales imposent : i = I - I !
2" [e-λt - ! e-µt]. On en déduit : iʼ = ! L R di dt = I ! [e-λt - e-µt] et i" = = RC! d" i dt = I ! 2" [e-µt - ! e-λt].4 3.b. • Les allures des variations respectives des courants i, iʼ et i" sont les suivantes : -0,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 -505101520 t i(t) -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 -505101520 t i'(t)5 -0,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 -505101520 t i'(t)4.a. • La loi des mailles modifiée s'écrit maintenant : R iʼ = r i + L!
di dt . • La combinaison des équations donne : ! d 2 i dt 2 1 RC r L di dt R+r R 1 LC i = ! 1 LCic. 4.b. • Pour retrouver la même équation, il est nécessaire et suffisant d'imposer : !
1 " R " C 1 RC r L 1 " L " C R+r R 1 LC 1 " L " CIʼ = !
1 LCI. • Ce système de trois équations à quatre inconnues a en fait une infinité de solutions : on peut imposer une contrainte supplémentaire. 4.c. • En imposant Cʼ = C, on obtient : Rʼ = !
L L+rRCR ; Lʼ = !
R R+rL ; Iʼ = !
R R+rI. ◊ remarque : ce tte "renormal isation" des coefficients permet de simplifier le calcul et de retrou ver toutes les quantités souhaitées. 4.d. • Pour t ≥ 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : i = Iʼ + A e-λʼt + B e-µʼt avec les coefficients : αʼ = !
12" R C
L+rRC Lα ; ω'0 = !
1 " L C R+r Rω0 ; βʼ = !
2 0 2; λʼ = αʼ - βʼ et µʼ = αʼ + βʼ. • Les conditions initiales imposent ici encore la continuité de i(t) dans la bobine (car dans l'inductance) et la continuité de la dérivée !
di dt (continuité de la tension aux bornes du condensateur, donc de la tension r i + L! di dt aux bornes de la bobine, donc la continuité de i impose celle de ! di dt ). 4.e. • Le raisonnement sur le régime apériodique nécessitait R > ! 1 2 L C ; l'application au nouveau rai-sonnement nécessite de même Rʼ > ! 1 2 " L C ; ceci impose donc : ! L L+rRC R R+r . • On en déduit la condition : r < ! L 2 R 3 C 1" 2R 2 C L ; c'est donc envisageable seulement si la résistance r de la bobine n'est pas trop grande.6 • Qui plus est, la condition R > !
1 2 L C correspond à ! 2R 2 C L 1 2 ; il faut donc que le régime ne soit pas "trop" apériodique : ! 1 2 2R 2 C L < 1 correspond à ! 1 2 L C < R < ! L 2C(sinon les deux cas, avec ou sans r, ne sont pas du même type, donc le raisonnement ne peut pas s'appliquer). III. Limite du régime critique 1. • Pour α > ω0, on peut écrire : u(t) = (E - Eʼ) e-2αt !
µe µt "#e #t+ Eʼ. • La limite α → ω0 correspond à µ → α et λ → α ; ainsi : u(t) → (E - Eʼ) e-2αt !
"#e #t()+ Eʼ = (E - Eʼ) e-2αt (αt + 1) eαt + Eʼ = (E - Eʼ) (αt + 1) e-αt + Eʼ. 2. • Pour α < ω0, près du cas critique, la décroissance rapide de l'amplitude d'oscillation fait que le comportement général est semblable à celui au voisinage de t = 0. On peut alors considérer cos(ωt) ≈ 1 et sin(ωt) ≈ ωt ; ceci donne : u(t) ≈ (E - Eʼ) e-αt [1 + αt] + Eʼ. Des précisions sont toutefois nécessaires. • En posant λʼ = α - jω et µʼ = α + jω, on peut écrire : u(t) = (E - Eʼ) e-2αt !
µ e
µ t
$ e $ t+ Eʼ. La limite α → ω0 correspond à µʼ → α et λʼ → α ; on obtient ainsi le même résultat que précédemment. B. EXERCICES D'APPROFONDISSEMENT IV. Propagation le long d'un câble coaxial 1. • Le courant traversant la capacité est : i1 = i(x) - i(x + dx) = -δi = -!
"i "x dx. • On en tire : ! "ux+dx "t #q #C "t "i #dx 1 "i "x . Ceci peut s'écrire : ! "u "t 1 "i "xcar la différence entre u(x) et u(x + dx) est ici négligeable puisque d'ordre supérieur. 2. • Les tensions aux bornes des inductances sont : uAAʼ = δL !
"i "t 2 dx ! "i "t et uBBʼ = -! 2 dx ! "i "t . • On peut écrire : δu = u(x + dx) - u(x) = -λ dx ! "i "t mais δu = ! "u "x dx donc : ! "u "x "i "t . 3. • En combinant les deux équations entre u et i, on obtient : ! 2 u "x 2quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16