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TD exercices sur les circuits RLC libre 2015

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Exercice 1

Un condensateur est initialement chargé sous une tension E=6,0V puis inséré dans le montage suivant. On considère que la bobine a une résistance interne négligeable.

À la date t=0, on ferme l'interrupteur K.

1. En appliquant la loi d'additivité des tensions, établir une relation [1] entre uL,

tension aux bornes de la bobine et uC, tension aux bornes du condensateur.

2. Exprimer uL en fonction de l'intensité i.

3. Exprimer l'intensité i en fonction de la capacité C et de la tension uC.

4. À l'aide de la relation [1], établir l'équation différentielle à laquelle obéit uC.

5. Une solution de cette équation différentielle est de la forme: uC= a.cos(0t + b).

a. En reportant cette expression dans la relation [1], déterminer l'expression de b. À la date t=0, quelle particularité la tension Uc présente-t-elle? Quelle est alors sa valeur? c. À la date t=0, quelle particularité l'intensité du courant traversant le circuit présente-t-elle? En déduire les constantes b et a. Quelle est l'expression de

Uc en fonction du temps.

Données: C=2200µF; L=1,1H.

Exercice 2

On réalise le montage ci-contre. On prend C=2,0µF. Le condensateur est préalablement chargé (K en position

1). On bascule K en position 2 et on enregistre les

variations de la tension uC aux bornes du condensateur.On observe l'oscillogramme ci-dessous.

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1. Pourquoi parle-t-on d'oscillations libres?

2. Préciser la nature du régime d'oscillation observé.

3. Quelle est la pseudo-période des oscillations observées?

4. En admettant que l'on peut assimiler cette pseudo-période à la période des

oscillations non amorties du circuit LC correspondant, calculer la valeur de l'inductance L de la bobine.

Exercice 3

On réalise le circuit correspondant au schéma ci-dessous. Le condensateur de

capacité C=15µF est préalablement chargé à l'aide d'un générateur idéal de tension

continue (interrupteur en position 1). Il se décharge ensuite (interrupteur en position

2) à travers un circuit comportant une bobine d'inductance L=1,0H et de résistance r.

I. Étude du circuit

1. Étude des oscillations

Un dispositif d'acquisition relié à un ordinateur permet de suivre pendant la décharge, d'une part l'évolution au cours du temps de la tension uC aux bornes du condensateur et d'autre part celle de l'intensité i du courant.

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3 a. Les oscillations sont-elles libres ou forcées? Sans calcul, justifier la réponse. b. Déterminer à partir des courbes la valeur de la pseudo-période des oscillations. c. Établir la relation entre l'intensité du courant i et la tension uC aux bornes du condensateur en respectant les conventions indiquées sur le schéma. d. Entre les instants de dates tA et tB (voir la figure ci-dessus), le condensateur se charge-t-il ou se décharge-t-il? Justifier la réponse. e. À partir de la courbe traduisant uC(t), et en utilisant la relation établie à la question c), retrouver la valeur de i à l'instant tA et le sens réel de circulation du courant entre tA et tB.

2. Étude énergétique

On souhaite étudier l'énergie totale E de l'oscillateur électrique. Cette énergie est la somme de l'énergie électrique E1=1/2.C.uC2 emmagasinée dans le condensateur et de l'énergie magnétique E2=1/2.L.i2 emmagasinée dans la bobine. Le logiciel utilisé peut calculer, à partir des mesures, les valeurs de ces trois énergies et fournir les courbes donnant leur variation en fonction du temps (voir figure ci-dessous). a. L'origine des dates étant la même pour toutes les courbes, identifier les trois courbes données ci-dessus en ne justifiant que l'identification de la courbe

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4 donnant les variations de l'énergie magnétique. b. Interpréter brièvement la décroissance de l'énergie totale de l'oscillateur

électrique.

II. Modélisation

On suppose maintenant que l'oscillateur ne comporte aucune résistance. Dans ces conditions, la tension uC aux bornes du condensateur est de la forme: uC(t) = Um sin(0t + ) avec 0 = 2 = 1 T0 où T0 est la période propre de l'oscillateur.

1. Calculer la valeur de T0.

2. Établir les expressions:

o de l'énergie électrique en fonction de C, Um, 0, et t; o de l'énergie magnétique en fonction de C, Um, 0, et t.

3. Montrer que, dans ce cas, l'énergie totale de l'oscillateur est conservée

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