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Codes linéaires — On prend pour F le corps Fq ; le code C est dit linéaire si C est un sous-espace vectoriel de Fn q de dimension k Le poids ω(x) d'un élément

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[PDF] Codes linéaires

Semestre 2 Exercices et corrections pour le TD 3 2014–2015 Codes linéaires 1 Le code peut détecter un erreur, mais il ne peut pas corriger des erreurs 2

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Le code par parité impaire n'est pas linéaire, sa capacité de détection est de 1 bit , pour tout n Exercice 4: a: toute erreur sur un nombre impair de bit Pas de

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Codes linéaires — On prend pour F le corps Fq ; le code C est dit linéaire si C est un sous-espace vectoriel de Fn q de dimension k Le poids ω(x) d'un élément

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Exercice 1 1 Soit C le code binaire : C = {00001100,00001111,01010101, 11011101} 1 et c7 = m2 + m3 + m4, et soit C le code linéaire binaire image de E 1

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ii) Quelle est la plus grande dimension d'un code linéaire binaire de longueur 8 qui corrige 2 erreurs? Construire un tel code Exercice 7 Soit C le code linéaire

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On consid`ere le code binaire o`u on envoie 16 bits pour 9 bits significatifs de la mani`ere suivante : Montrer que ce code est linéaire, donnez sa matrice génératrice c'est `a dire la matrice dont On rappelle qu'il corrige une erreur

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Ainsi le nouveau ensemble de mots de code ne forme plus un sous-espace vectoriel de GF8(2), et donc le code n'est plus un code linéaire EXERCICE 2 1 Les

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Exercices 26 Chapitre 3 Les codes linéaires parfaits 35 3 1 Les codes de Hamming 36 3 4 façon que les erreurs puissent être détectées et corrigées 1 2

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200–2010 Algèbre et Arithmétique 3 Feuille n°7 : codes correcteurs d'erreurs Les premiers exercices de cette feuille sont tirés de la base WIMS Exercice 1 1

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Un code linéaire ajoute n − k bits de contrôle au aux bits codés Exercice 1 Pour qu'un code corrige k erreurs, la distance d du code doit vérifier d ≥ 2k + 1

Feuille d'exercices 3

du forum (http ://cours-jussieu-nombres.monforum.com/cours-et-td-2009-vf7.html) les exercices que nous aurons

1. Corps ¯nis

Exercice 1.1

en question : (i) F

4'F2[X]=(X2+X+ 1);

(ii) F

8'F2[X]=(X3+X+ 1);

(iii) F F

2[X;Y]=(Y2+Y+ 1;X2+X+Y).

(iv) F

9'F3[X]=(X2+X¡1).

Exercice 1.2

Pour toutndivisantn0on ¯xe une injectionFpn½Fpn0. Montrez alors que¹Fp:=S n>1Fpn!est une cloture

Exercice 1.3

Exercice 1.4

(a) Montrer que sidjnalors siP2A(d;q)on aPqui diviseXqn¡X. (b) Montrer que siP2A(d;n)diviseXqn¡Xalorsddivisen. (c) X djndI(d;q) =qn; puis en appliquant la formule d'inversion de Moebius

I(n;q) =1

n X djn¹(n d )qd: (d)

Exercice 1.5

(1) X (2) F 5[X] (P(X)) est isomorphe au corps F

25et que

Pa deux racines dansF25.

(3) a®+bavecaetb dansF5. (4) F

Exercice 1.6

On considµere le polyn^omeQ(X) =X9¡X+ 1surF3. (a) Montrer que le polyn^omeQn'a pas de racines dansF3;F9. 1 2 (b)Montrer queF27'F3[X](X3¡X¡1). (c) Montrer que toute racine®2F27du polyn^omeX3¡X¡1est une racine du polyn^omeQ. (d) (e)

Factoriser le polyn^omeQsur le corpsF3.

Exercice 1.7

F pm? P

5µa coe±cients dansFp

F pm.

Exercice 1.8

premier et nun entier premier avecp. On poseq=pr. (1) l'application qui µa un sous-groupe

Hdegal(Fqn=Fq)associe le sous-corps de

F F q½K½Fqn. (2) l'image de F pen un produit de pour tout entier

Exercice 1.9

(Indication : montrer que pour tout nombre premier impair p, le polyn^omeX4+1a une racine dans le corps F p2. n-iµeme de Galois des corps ¯nis, que

Exercice 1.10

SoitP(X) =X4¡10X3+ 21X2¡10X+ 11

(a) (b)

Exercice 1.11

mod 3. On note (i)

Montrer quePn'a pas de racine rationnelle.

(ii)

Montrer que

que

(iii)

Exercice 1.12

(a) p´3 mod 4; (b)p´1 mod 4; (c) p´1 mod 2m; (d)p´5 mod 6; (e) p´5 mod 8; (f)p´1 mod 6; (g) p´ ¡1 mod 12; (h)p´ ¡1 mod 10. Indication : on cherchera µa faire des lemmes du genre : sipdivisea2+qb2etppremier avec b, alors¡qest un q.

Exercice 1.13

guration

Cquelconque de billes sur le plateau on introduit

C:=X (x;y)2Cj x+y2F4¯C:=X (x;y)2Cj x¡y2F4 3 e e e e e ee e e e e e ee e e e e e ee e e e e e ee e ee e e s s R ss ss s s e e ee e ee e e e e e ee e e e e e ee e e e e e ee e ee e e s s s squotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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