[PDF] Exercices Codes Correcteurs - ENSIIE PDF exo

On consid`ere le code binaire o`u on envoie 16 bits pour 9 bits significatifs de la mani`ere suivante : Montrer que ce code est linéaire, donnez sa matrice génératrice c'est `a dire la matrice dont On rappelle qu'il corrige une erreur

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[PDF] Codes linéaires

Semestre 2 Exercices et corrections pour le TD 3 2014–2015 Codes linéaires 1 Le code peut détecter un erreur, mais il ne peut pas corriger des erreurs 2

[PDF] Corrigés exercices codes correcteurs - LIRMM

Le code par parité impaire n'est pas linéaire, sa capacité de détection est de 1 bit , pour tout n Exercice 4: a: toute erreur sur un nombre impair de bit Pas de

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Codes linéaires — On prend pour F le corps Fq ; le code C est dit linéaire si C est un sous-espace vectoriel de Fn q de dimension k Le poids ω(x) d'un élément

[PDF] 1 Codes correcteurs derreurs - webusersimj-prgfr

Exercice 1 1 Soit C le code binaire : C = {00001100,00001111,01010101, 11011101} 1 et c7 = m2 + m3 + m4, et soit C le code linéaire binaire image de E 1

[PDF] Feuille dexercices n Codes correcteurs - Benjamin Collas

ii) Quelle est la plus grande dimension d'un code linéaire binaire de longueur 8 qui corrige 2 erreurs? Construire un tel code Exercice 7 Soit C le code linéaire

[PDF] Exercices Codes Correcteurs - ENSIIE

[PDF] Corrigé du TD 6

Ainsi le nouveau ensemble de mots de code ne forme plus un sous-espace vectoriel de GF8(2), et donc le code n'est plus un code linéaire EXERCICE 2 1 Les

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Exercices 26 Chapitre 3 Les codes linéaires parfaits 35 3 1 Les codes de Hamming 36 3 4 façon que les erreurs puissent être détectées et corrigées 1 2

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200–2010 Algèbre et Arithmétique 3 Feuille n°7 : codes correcteurs d'erreurs Les premiers exercices de cette feuille sont tirés de la base WIMS Exercice 1 1

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Un code linéaire ajoute n − k bits de contrôle au aux bits codés Exercice 1 Pour qu'un code corrige k erreurs, la distance d du code doit vérifier d ≥ 2k + 1

Securite et Fiabilite des reseaux

R. Rioboo

Ann ee 2017-2018

Exercices Codes Correcteurs

Exercice 1

Donner la distance de Hamming entre les mots 100011111000 et 000011001000

| lorsqu'on les interprete dansF122| lorsqu'on les interprete dansF48ouF4est represente de la maniere suivante :0000

1001
010 + 1011 2100

2+ 1101

2+110

2++ 1111

Exercice 2

On considere le code binaire ou on envoie 16 bits pour 9 bits signicatifs de la maniere suivante : | on envoie les trois premiers bitsp1,p2,p3suivis d'un bit de parite (paire)b1, | on envoie les trois bitss1,s2,s3suivants suivis d'un bit de parite (paire)b2, | on envoie les trois derniers bitsd1,d2,d3suivis d'un bit de parite (paire)b3, | on envoie un paquet de 4 bits de contr^olec1,c2,c3,c4ouc1=p1+s1+d1,c2=p2+s2+d2, c

3=p3+s3+d3etc4=b1+b2+b3.

1. Montrer que ce code est lineaire, donnez sa matrice generatrice c'est a dire la matrice dont

les lignes sont formees des images des vecteurs de base deF92.

2. Coder le mot 100111000.

3. On suppose avoir recu le mot 0110101101100011. Retrouvez le mot envoye.

Exercice 3

Dans une procedure de contr^ole d'erreurs on decide d'envoyer des blocs de 12 bits en les codant sur deux octets de facon a ce que les 16 bits envoyes soient multiples deX4+X+1. Pour envoyer un blocPi=12 i=1bi, on l'interpr^ete comme le polyn^omePi=12 i=1biX12i. Ainsi le bitb1est le terme de plus haut degre du polyn^ome. | Interpreter le bloc de 12 bits 100110 011010 ou le premier bitb1est 1 en un polyn^omePu | On obtientPequi transite sur le reseau en ecrivant la division Euclidienne X

4Pu=K:(X4+X+ 1)R

etPevautX4Pu+R. Appliquer la procedure de codage surPupour obtenirPe. | Interpreter le bloc de 16 bits 10011100 11100110 avec les m^emes conventions que precedement pour obtenir un polyn^omeP0e. Appliquer la procedure de verication surP0e, est-il correct?

Exercice 4

On considere le codeCbinaire dont la matrice generatrice est : M=2

41 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 1 0

0 0 1 0 1 0 13

1. Donner tous les mots deC,

2. donner la distance minimale deC, combien d'erreurs peut on corriger? Detecter?

Exercice 5

On considere le codeCbinaire dont la matrice generatrice est : M=2 6

641 0 1 0 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1 1 0 1

0 0 0 0 1 1 0 1 13

7 75
Donner tous les mots deC, donner la distance minimale deC, combien d'erreurs peut on corriger?

Detecter?

Exercice 6 (

Enumerateurs de poids)

SoitKun corps ni, combien y a-t-il de mots deKnde poidsi?

Exercice 7 (Correction d'erreurs)

On reprend le codeCde la seance precedente donne par la matrice generatrice G=2

41 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 1 0

0 0 1 0 1 0 13

On rappelle qu'il corrige une erreur.

| Calculer les syndromes des mots de poids 1. | Decoder le mot recu 1111011.

Exercice 8 (Codes Cycliques)

On admettra que le polyn^omeP(X) =X4+X+ 1 est irreductible dansF2[X], verier que c'est un diviseur deX15+ 1. On considere le code cycliqueCengendre parPquelle est sa longueur? Quelle est sa dimension On rappelle que le codage cyclique d'un polyn^omePu(X) s'obtient en faisant une multiplication par X k(oukest le degre du polyn^ome generateur du code) suivie d'une division euclidienne.

Coder le polyn^omePu(X) =X10+X7+X5+X4+X+ 1.

Comment obtenir la matrice generatrice deC?

Exercice 9

On considere le codeCdont une matrice generatrice est G=2 6

66641 1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 1 0 0

0 1 0 1 0 1 1

1 0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 1 1 13

7 7775
En utilisant la methode de Gauss, MettezCsous forme systematique. En deduire une matrice de contr^oleHpourC. Calculer le syndrome du mot 1111000. Pouvez vous le decoder? 2

Exercice 10 (codes Cycliques)

On interprete une suite de 3 bitsb1;b2;b3comme l'elementb1+b2+b32=B() deF8represente parF2[]= < 3++ 1>. On interprete ensuite une suiteB1();B2();B3() de 3 mots de 3 bits comme un polyn^omeB(X) =B1()+B2()X+B3()X2deF8[X]. Ce polyn^ome est ensuite code sur 15 bits en envoyant le polyn^omeC(X) =X2B(X)+R(X) ouRest le reste de la division euclidienne deX2B(X) parX2+X+ 1.

1. Coder la suite de 9 bits 110 100 001.

2. Ce code etant vu comme un code surF58, donner sa matrice generatrice.

3. Ce code etant vu comme un code surF152, montrer que le code est lineaire et donner sa

matrice generatrice.

Exercice 11 (Codes cycliques)

On se place surF4et on noteson generateur. Verifer que le polyn^omeG(X) =X3+est irreductble dansF4et que c'est un diviseur deX9+ 1. On considere le code cyclique de longueur 9 dansF4engendre parG(X). En calculant les puissances successives deXdansF4[X]=< G(X)>donner sa matrice generatrice et sa matrice de contr^ole en tant que code surF4.

Exercice 12 (Codes BCH)

Montrer queX4+X+1 est irredcutible dansF2[X], on admettra qu'il diviseX15+1. On se place dansF16represente parX4+X+ 1 et on notele generateur deF16. Montrer que2et4sont aussi racines deX4+X+ 1 dansF16et que3est racine de X

4+X3+X2+X+ 1. On admettra que ce dernier polyn^ome est egalement diviseur deX15+ 1.

Donner 4 racines consecutives du polyn^ome (X4+X+1)(X4+X3+X2+X+1). En deduire d'apres la borne BCH que le code cyclique de longueur 15 surF2engendre parX8+X7+X6+X4+1 est 2 correcteur. Quelle est sa dimension? 3quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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Securite et Fiabilite des reseaux

R. Rioboo

Exercices Codes Correcteurs

Exercice 1

2+ 1101

2++ 1111

Exercice 2

3=p3+s3+d3etc4=b1+b2+b3.

1. Montrer que ce code est lineaire, donnez sa matrice generatrice c'est a dire la matrice dont

2. Coder le mot 100111000.

3. On suppose avoir recu le mot 0110101101100011. Retrouvez le mot envoye.

Exercice 3

4Pu=K:(X4+X+ 1)R

Exercice 4

41 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 1 0

0 0 1 0 1 0 13

1. Donner tous les mots deC,

2. donner la distance minimale deC, combien d'erreurs peut on corriger? Detecter?

Exercice 5

641 0 1 0 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1 1 0 1

0 0 0 0 1 1 0 1 13

Detecter?

Exercice 6 (

Enumerateurs de poids)

Exercice 7 (Correction d'erreurs)

41 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 1 0

0 0 1 0 1 0 13

On rappelle qu'il corrige une erreur.

Exercice 8 (Codes Cycliques)

Coder le polyn^omePu(X) =X10+X7+X5+X4+X+ 1.

Comment obtenir la matrice generatrice deC?

Exercice 9

66641 1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 1 0 0

0 1 0 1 0 1 1

1 0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 1 1 13

Exercice 10 (codes Cycliques)

1. Coder la suite de 9 bits 110 100 001.

2. Ce code etant vu comme un code surF58, donner sa matrice generatrice.

3. Ce code etant vu comme un code surF152, montrer que le code est lineaire et donner sa

Exercice 11 (Codes cycliques)

Exercice 12 (Codes BCH)

4+X3+X2+X+ 1. On admettra que ce dernier polyn^ome est egalement diviseur deX15+ 1.