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3 jui 1996 · EXERCICES CORRIGES EXERCICE 1 L'objectif de l'exercice suivant est de calculer les valeurs des risques α et β associés aux deux

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EXERCICES CORRIGES

EXERCICE 1

L'objectif de l'exercice suivant est de calculer les valeurs des risques et associés aux deux hypothèses H 0 ( = 117) et H 1 ( = 120). C'est l'exercice de base pour comprendre comment l'on calcule ces valeurs. Dans la pratique, on testerait plutôt l'hypothèse H 0 ( = 117) et (contre) H 1 ( > 117). Pour obtenir l'évolution des valeurs de la probabilité d'acceptation de l'hypothèse H0 alors que H 1 est vraie, on prend une suite de valeurs supposées de la moyenne de la population sur l'intervalle ]117 ; + [ (On prendra par exemple =118, =118,5, = 119, = 120... ). On obtient ainsi le tracé point par point de la courbe d'efficacité correspondant au test. Cet aspect sera développé lors du deuxième exercice.

Calculer les risques et dans le cas suivant :

H0 H 1

L'écart-type de la fabrication vaut 5 g.

La taille n de l'échantillon est 25.

La règle de décision est la suivante : si la moyenne de l'échantillon est supérieure à alors

on décide H 1.

Proposition de corrigé

Posons les hypothèses: H

0 : " = 117 " opposée à H 1

Modèle : est connu, la V.A. U = X

n suit la loi N (0 , 1) sous H 0 ! prob X prob U prob U()( )(),119119 117 5

252 0 0228

Le risque de refuser H

0 alors que H 0 est vraie est d' environ 0,023. sous H 1 prob X prob U prob U()( )(),119119 120 5

251 01587

Le risque d' accepter H

0 alors que H 0 est fausse est d' environ 0,16.

Remarque

: La puissance du test est donc de 1-0,16 soit 0,84. ENFA - Bulletin du GRES n°3 -juin 1996 page 10

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EXERCICE 2 :

On se propose d'effectuer un contrôle de réception de pièces fabriquées en série.

étant le pourcentage de pièces défectueuses fabriquées, on confronte les deux hypothèses

suivantes : H 0 : = 0,05 il s'agit d'un lot conforme H 1 : = 0,08 il faut renvoyer le lot.

Afin de prendre une décision, on extrait de façon aléatoire (EAS) un échantillon de 400 pièces

et on fixe à 0,06 la valeur critique pour le pourcentage de pièces défectueuses de l'échantillon.

Calculer les risques de première et de deuxième espèce dans cette situation.

Proposition de corrigé

On pose H

0 : " = 0,05 " opposée à H 1 : " = 0,08"

Modèle : n > 30, la variable aléatoire P : "proportion de pièces défectueuses dans un échantillon

de 400 éléments" est approximativement distribuée selon la loi normale : N ( SS()1 400

La règle de décision est la suivante : si on note p la proportion de pièces défectueuses observées

dans l' échantillon : si p < 0,06, on accepte Ho si p > 0,06, on refuse Ho.

Sous H

0 u ! prob P prob U prob U(,) (,, ,006

006 005

005 095

400092

01788
Le risque de refuser Ho alors qu' elle est vraie est d' environ 0,18.

Sous H

1 u prob P prob U prob U(,) (,, ,006

006 008

008 092

400147

0 0708

Le risque d' accepter Ho alors qu' elle est fausse est d' environ 0,07. ENFA - Bulletin du GRES n°3 -juin 1996 page 11

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Remarques sur les risques et

Dest le risque de refuser

0 alors que 0 est vraie. On peut dire aussi que c'est le risque de refuser un lot qui, pourtant, est conforme.

Le calcul de se fait donc sous l' hypothèse

0 , ce qui veut dire que dans ce cas, on connaît soit la valeur de ,s' il s' agit d' un contrôle de moyenne (exercice 1 : , soit la valeur de , s' il s' agit d' un contrôle de proportion (exercice 2 : .

Le risque est le risque d' accepter

0 alors qu' elle est fausse .Ou encore celui d' accepter un lot qui n' est pas conforme. Pour calculer , il faut donc se placer sous 1 Dans les exercices précédents, pour que ce soit plus simple, l' hypothèse 1

était,

comme 0 , formulée sous forme d' une égalité ( exercice 1 : exercice 2 : . Ce n' est pas toujours le cas. Pour l' exercice 1, 1 pourrait être " " ( test bilatéral ) où " > 117 " ( test unilatéral ). Cela signifie que sous 1 on ne connaît plus la valeur de ou de Il faut donc envisager d' autres valeurs pour ces paramètres.

Reprenons par exemple l' exercice n° 2

Il s' agit, en fait, d' un test de conformité, pour lequel nous poserions les hypothèses ainsi :

H 0 " = 0,05 " et H 1 " > 0,05 ". Un test unilatéral étant ici plus adapté. Si H 1 est vraie alors est supérieure à 0,05, mais nous ne connaissons pas sa valeur. Il faut

envisager plusieurs cas, il est intéressant de reprendre le calcul de pour d' autres valeurs de ,

par exemple pour 0,06, 0,07, 0,08, 0,09, 0,1 etc... est fonction du degré de fausseté de H 0 . On peut alors représenter ce que l' on appelle la courbe d' efficacité du contrôle : en abscisse les valeurs de et en ordonnée la probabilité d' accepter H 0 Sur cette courbe, on peut retrouver le risque , lorsque vaut 0,05 (H 0 est vraie ). Le risque , lui, dépend de la valeur de lorsque H 1 est vraie. Les calculs, que vous ne manquerez pas de faire, donnent les résultats suivants : si = 0,05 alors prob (accepter H 0 ) = 1 - = 0,8212 si = 0,06 = 0,5000 si = 0,07 = 0,2177 si = 0,08 = 0,0708 si = 0,09 = 0,0179 si = 0,1 = 0,0038 ...etc _=_=_=_=_=_=_=_=_quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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EXERCICES CORRIGES

EXERCICE 1

Calculer les risques et dans le cas suivant :

L'écart-type de la fabrication vaut 5 g.

La taille n de l'échantillon est 25.

Proposition de corrigé

Posons les hypothèses: H

Modèle : est connu, la V.A. U = X

252 0 0228

Le risque de refuser H

251 01587

Le risque d' accepter H

Remarque

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EXERCICE 2 :

Proposition de corrigé

On pose H

Sous H

006 005

005 095

400092

Sous H

006 008

008 092

400147

0 0708

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Remarques sur les risques et

Dest le risque de refuser

Le calcul de se fait donc sous l' hypothèse

Le risque est le risque d' accepter

était,

Reprenons par exemple l' exercice n° 2