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Exercice 4

: Covariance

1. Prenez un échantillon X de loi normale de taille 1000, de paramètres 0, 1.

2. Prenez un échantillon Y de loi uniforme de taille 1000 dans l"intervalle [10, 20].

3. Prenez un échantillon Z de loi uniforme de taille 1000 dans l"intervalle [0, 1].

4. Calculez les covariances. Pourquoi les valeurs de covariances sont faibles ?

Exercice 5 : coefficient de corrélation

En Matlab, pour calculer le coefficient de corrélation de deux échantillons (de même taille) on

utilise la commande " corr ». Rappel : corr(X,Y) = cov(X,Y) / (sqrt(var(X)) * sqrt(var(Y))

On considère les variables aléatoires suivantes, définies à partir des variables X et Y de l"exercice 4 :

- X et X+Y, - X et X*Y, - 2*X + Y, 3*X+Y.

1. Y a-t-il des corrélations prévisibles ? Pourquoi ?

2. Calculez les coefficients de corrélation de ces variables. Vos prévisions sont-elles vérifiées ?

Exercice 6 : Matrice de variance-covariance

En Matlab, il y a une commande " cov » pour calculer la matrice de variance-covariance pour des

réalisations des échantillons de la même taille. Soient ces réalisations données par n vecteurs de la

taille k : v

1,..., vn. Pour appliquer " cov », il faut d"abord créer une matrice (v1,..., vn) où v1,..., vn

sont des colonnes. Le résultat va être une matrice de taille n x n ayant les covariances cov(V

i, Vj) comme éléments. Ici V i, Vj sont des variables aléatoires empiriques associées à v1,...,vn. Remarque : la matrice n"est, en général, pas carrée, c"est une matrice k x n.

1. Prenez trois réalisations d"échantillons de loi normale N(0,1) de taille 100 chacun. Calculez

la matrice de variance-covariance.

2. Prenez des échantillons de taille 1000, comparez les résultats et donnez des explications.

Prenez deux réalisations X, Y de loi normale N(0,1) de taille 1000 chacun.

3. Calculez la matrice de variance-covariance de la matrice (X, Y, X-Y, X+Y, XY).

4. Certains résultats étaient-ils prévisibles ? Expliquez...

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