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2 4 Variable quantitative : mode, moyenne, variance et représentation 13 3 Exercices relatifs `a la partie II : Statistique descriptive bivariée 17 3 1 Distribution

Myriam BertrandINSA - 2006/2007T. D. n

Statistique descriptive bivari´ee

Ces exercices sont issus du livre "Probabilit´es, Statistique et technique de r´egression" de G´erald Baillargeon, Les ´editions SMG, 1995. Exercice 1La soci´et´e de Transport Laviolette veut ´etablir une politique d"entretien des camions de sa flotte. Tous sont de mˆeme mod`ele et utilis´es `a des transports semblables. La direction de la soci´et´e est d"avis qu"une liaison statistique entre le coˆut direct de d´eplacements (cents par km) et l"espace de temps ´ecoul´e depuis la derni`ere inspection de ce camion serait utile. On a donc recueilli un certain nombre de donn´ees sur ces deux variables. On veut utiliser la r´egression lin´eaire comme outil statistique.Coˆut direct101824222713102425816

Nombre de mois3710911658746

Coˆut direct2028221918261420263012

Nombre de mois9128109116810125

a) Quelle variable devrait-on identifier variable d´ependanteYet laquelle devrait- on identifier variable explicativeX? b) Tracer le diagramme de dispersion de ces observations. Est ce que le nuage de points sugg`ere une forme de liaison particuli`ere? c) Les calculs "`a la main" conduisent `a : ?x i= 176;?y i= 432;?x iyi= 3768;?x2i= 1546;?y2i= 9348. Calculez en utilisant les formules du cours les coefficientsaetbde la droite des moindres carr´es. D´eduiser-en l"´equation de la droite des moindres carr´es. d) Avec l"´equation de la droite des moindres carr´es, quelle est l"estimation la plus plausible du coˆut direct de d´eplacement pour des camions dont la derni`ere inspection remonte `a six mois? e) D"apr`es les r´esultats de cette ´etude, un d´elai suppl´ementaire d"un mois pour l"inspection d"un camion occasionnera-t-il une augmentation ou une diminu- tion du coˆut direct? Quelle sera vraisemblablement la valeur de cette variation de coˆut? f) D´eterminer la variation totale dans le coˆut direct de d´eplacement.

g) L"´equation de la droite des moindres carr´es pour les donn´ees de la soci´et´e est :

ˆyi= 1,54941 + 2,26087xi.

Calculer la variation qui est expliqu´ee par la droite des moindres carr´es. 1 Myriam BertrandINSA - 2006/2007h) Quelle est la variation r´esiduelle? i) Calculer le coefficient de d´eterminationR2et interpr´eter le r´esultat. Exercice 2Une ´etudiante en sociologie veut analyser, dans le cadre d"un projet de fin de session, s"il existe une relation lin´eaire entre la densit´e de population dans les r´egions m´etropolitaines et le taux de criminalit´e correspondant dans ces r´egions. Le taux de criminalit´eYest indiqu´e en nombre de crimes par 10000 habitants et la densit´e de populationXest mesur´ee en milliers d"habitants par km2.

Les calculs pr´eliminaires conduisent `a :

?x i= 76;?y i= 96;?x iyi= 732,6;?x2i= 576,46;?y2i= 962.R´egions n ◦123456789101112 x i7,75,811,52,13,73,67,54,23,810,38,67,2y i129154421035111011 a) Tracer le diagramme de dispersion de ces observations. b) Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire entre ces deux variables. c) Peut-on conclure que la corr´elation lin´eaire entre le taux de criminalit´e et la densit´e de population est significative au seuil deα= 0,05? d) Calculer avec les formules du cours les coefficients de la droite des moindres carr´es et donner l"´equation de cette droite. e) `A quelle augmentation du taux de criminalit´e peut-on s"attendre pour une variation unitaire (ici 1000 habitants par km

2) de la densit´e de population?

f) Estimer le taux de criminalit´e le plus plausible pour une densit´e de population de 75000 habitants par km 2. g) `A l"aide des calculs pr´eliminaires, calculer la variation totale du taux de cri- minalit´e. h) Calculer la variation qui est expliqu´ee par la droite des moindres carr´es. i) Quelle proportion de la variation totale est expliqu´ee par la droite des moindres carr´es? Exercice 3L"entreprise INFORMATEX se sp´ecialise dans l"analyse de syst`emes et la programmation sur ordinateur de probl`emes techniques et de gestion. Elle veut utiliser la r´egression dans une ´etude sur le temps requis, par ses analystes- programmeurs, pour programmer des projets complexes. Cette ´etude pourrait permettre `a la firme d"´etablir des normes quant au temps requis pour programmer certains projets et d"assurer ´eventuellement une meilleure 2

Myriam BertrandINSA - 2006/2007planification des ressources humaines. Les donn´ees du tableau suivant repr´esentent

le temps total en heures requis pour programmer diff´erents projets en fonction du nombre d"instructions dans chaque programme.Temps total en heures405562588294120

Nombre d"instructions6082100142190220285

Temps total en heures134128140152174167218

Nombre d"instructions354400425440500530640

a) Si on veut expliquer les fluctuations dans le temps requis pour programmer les projets quelle variable doit-on identifier comme variable d´ependante? Comme variable explicative? b) Qu"est qui peut renseigner l"entreprise sur la forme de liaison statistique qui peut exister entre ces deux variables? c) Quelle m´ethode d"ajustement lin´eaire doit-on utiliser pour obtenir les estima- teurs des coefficients de la droite de r´egression? d) Apr`es quelques calculs pr´eliminaires, on obtient : ?x i= 4368;?y i= 1624;?x iyi= 631852;?x2i= 806254;?y2i= 224526.

Calculer `a l"aide des formules du cours

ˆβ0etˆβ1. Retrouvez ces coefficients `a l"aide de Minitab. e) Quelle est l"´equation de la droite des moindres carr´es? f) Calculer le coefficient de la r´egression lin´eaire. g) Peut-on conclure, au seuilα= 0,05 en la pr´esence d"une corr´elation lin´eaire positive entre ces deux variables? h) Si on ne tient pas compte du nombre d"instructions, quelle valeur pourrait-on utiliser comme estimation du temps moyen de programmation des projets? i) Quelle correction peut-on apporter `a l"estimation obtenue en h), en tenant compte du nombre d"instructions par l"entremise de la droite des moindres carr´es? j) D"apr`es la droite des moindres carr´es, `a quelle augmentation du temps de programmation peut-on s"attendre lorsque le nombre d"instructions augmente de 50? k) Pour chaque nombre d"instructions suivant, estimer le temps de programma- tion `a l"aide de la droite des moindres carr´esNombre d"instructions100220440

Estimation du temps de programmation

l) Selon les r´esultats observ´es, quels sont les ´ecarts de pr´evision de l"´equation des

moindres carr´es pour le nombre d"instruction en k)? 3

Myriam BertrandINSA - 2006/2007m) Si on avait utilis´e l"estimation obtenue en h) au lieu de celles d´eduites de

l"´equation des moindres carr´es pour effectuer les pr´evisions selon le nombre d"instructions sp´ecifi´e en k), quels auraient ´et´e alors, dans chaque cas, les

´ecarts de pr´evision?

n) Pour chaque valeurxisp´ecifi´e en k), v´erifier la relation y i-y= (ˆyi-y) + (yi-ˆyi). o) Calculer la variation totale, la variation expliqu´ee par la droite des moindres carr´es et la variation r´esiduelle. p) Quelle proportion de la variation totale dans le temps de programmation est expliqu´ee par la droite des moindres carr´es? Quelle proportion demeure inex- pliqu´ee par la droite? q) On avait fix´e le coefficient de d´eterminationR2`a 0,90 comme valeur minimale pour consid´erer la droite des moindres carr´es d"utilit´e pratique. D"apr`es les r´esultats obtenus, devrait-on utiliser la droite des moindres carr´es comme outil de pr´evision? 4quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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