RACINES DE L’UNITÉ ET FACTORISATION DE POLYNÔMESDANSC Exemple 9 2 2 Soit P(z)=z3 ? 6z2 +13z ? 10 Il n’est pas di?cile de véri?er que 2 est une racine de PilexistedoncQ(z)=az2 +bz +c un polynôme de degré (au plus) 2 tel que P(z)=(z ?2)(az2 +bz +c) Pour déterminer les nombres complexes ab et c
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Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme : ( ) = 5 + 4 + 3 + 2 + + 1 En déduire sa factorisation dans ℂ[ ] et
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partie 3 Racine d'un polynôme, factorisation · Vidéo · partie 4 Un polynôme à coefficients dans K est une expression de la forme P(X) = an X n +an−1X
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On peut donc le factoriser par (x − 1), ainsi, on sait qu'il existe un polynôme Q de degré 2 tel que, pour tout réel x, P(x) = (x −1)×Q(x) Détermination du polynôme Q Q est un polynôme de degré 2, il s'écrit sous la forme Q(x) = ax2 +bx +c
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P n'a pas de racines multiples (par calcul de PGCD, c'est la factorisation “square- free”), on peut aussi décider d'appliquer un algorithme de factorisation exact
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indéterminée) à coefficients dans un corps fini ou dans Z 1 Cas des divisant n, mais les racines des polynômes Φd pour dn et d = n ne fournissent qu'au plus
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`A l'aide de l'équation x2 +(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) on peut facilement factoriser un grand nombre de fonctions quadratiques x2 +bx+c (La facilité vient avec un
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78000 Versailles c 2017, Polycopié du cours de mathématiques de première année Exemples simples de factorisation dans C[X] et R[X] de polynômes de K est à support fini • L'élément ai s'appelle coefficient d'indice i du polynôme A =
pdf Racines de l’unité et factorisation de polynômes dans C
RACINES DE L’UNITÉ ET FACTORISATION DE POLYNÔMESDANSC Exemple 9 2 2 Soit P(z)=z3 ? 6z2 +13z ? 10 Il n’est pas di?cile de véri?er que 2 est une racine de PilexistedoncQ(z)=az2 +bz +c un polynôme de degré (au plus) 2 tel que P(z)=(z ?2)(az2 +bz +c) Pour déterminer les nombres complexes ab et c
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Chapitre9
Racinesdel'unitéetfac torisa tion
depol ynômesdansC Danscetult imechapit reportantsurlesno mbrescomplexes,nousallo nsapprofondirl'étudede lafa ctorisationdepolynômeàcoe!cientscomplexes.9.1Raci nesn-ièmesdel'unité
Délaissonslesapplicationsgé ométriqu esdenombrescomplexespour étudierdenouvea ules racinesd'unpolynôme etlesméthode sdefactorisation.Enparticulier,danscettepartie,nous allonsnousfocal isersurun sous-ensembleducercleunit éU. Définition9.1.1.Lece rcleunitéU!Cestdéfin iparU={z"C;|z|=1}.
Remarque.L'ensembleUvérifiedespropri étésdesta bilitéparproduitetquotient.Autrementdit, siz,z "Ualors zz "Uet z z "U. Nousallons nousfocalisersuru nepartiedeU,ils'agitdesracinesn-èmesdel'uni té. n =1.L'en- sembledesracine sn-èmesdel'unité estnoté U n Exemple9.1.1.iestuner acinequatr ièmedel'unitépu isquei 4 =(#1) 2 =1.±1sontdesracines secondesdel'unité. Iles tnaturel desedemanders'ilestpo ssible d'obt enirunedescriptionplusprécisedesracines del' unité,lapropositionsui vante répondàcettequestion.Proposition45.L'ensembleU
n desracine sn-èmesdel'unité corres pondàl'ensemblesuiv ant U n ={e i 2k! n pourtout0$k90CHAPITRE9.RACINESDEL 'UNITÉET FACTORISATIONDEPOLY NÔMESDANSC
Remarque.U
n contientexactementnéléments.D'unecertainem anièrenousvenons d'associerà unpo lynôme(iciP(z)=z n #1)un ensemb le(U n ),Ga loisfutlepremierào bserverc egenre delienetàc onstat erq uelespropriétésdel'ensembleasso ciéavaitdesrépe rcussions surl'existencede
solutionsd'uneéquationpo lynomiale(iciz n #1=0).Démonstration.Posonsz=re
i! avecr>0et!"R,paridentification z n =1&'r n e in! =1&' r n =1 n!(0[2"] r=1 n!=2l"avecl"Z or,e ne"ectuantladivision euclidien nedelparn,nousavonsl=nq+kavec0$kCequ iterminel adémonstration.
Exemple9.1.2.1.Trai tonslecasn=2.z
2 =1&'z 2 #1=0&'(z+1)(z#1)=0.Le sdeuxracin esdel'unités ontz
0 =1etz 1 =#1.2.Si n=3,iln'estpasdi!ciledevoir quez
0P(z)=z
3 #1sefactoriseparz#1.A utrementdit,ilexistea,b,c"Ctelsque z 3 #1=(z#1)(az 2 +bz+c) Endé veloppantetenidentifiantlescoe !cients,noustrouvo nsq uea=b=c=1.Ilnereste plusqu'àdé terminerl esracinesdez)*z 2 d'obtenirl'expressiona lgébriquedez 1 etz 2 précédentepourdéterminerleure xpressions ousformeexponentielle: z 1 =e 2i! 3 etz 2 =e 4i! 3 =e 2i! 3Nousobtenon salorslepolygonerégu liersuivant:
O z 0 z 1 z 2Remarque.Souvente
2i! 3 estnoté jete 4i! 3 ,j 2 ou j. Exercicesàtraiter:45page 67;126page 75àfaireà lam aison;124,128 page75 ;146 page79en DM.
9.2.FAC TORISATIONDANSC91
9.2Factor isationdansC
Lorsdel'ét udedesr acinestroisièmedel'un ité,no usavonsprocédéàunefactorisation.Cegenre
d'opérationest,bienentendu,valablep ourdespolynômes dedegrésplusélevé.Voyonscomment généraliserlanotiondepolynômev ueencl assede1ère. Définition9.2.1.1.Dan sC,unpolynômenonnul,àcoe!cientsréels,Pdedeg rénestde lafo rmeP(z)=a
n z n +a n"1 z n"1 +...+a 1 z+a 0 aveca i "Rpourtouti=1,...,neta n +=0.2.Soit Punp olynômededegrén.Nousdironsquea"Cestuner acinedePsiP(a)=0.
Remarque.1.Bi enentendu,il estpossibledegénéralisercec iensup posantquele scoe!cients a i soientcomplexes.2.Pou rgénéraliser lanotionderacineàdesespacesp lusabstraits(l'anneau euclidienK[X]des
polynômesd'indéterminéeXàcoe!cientsdansunco rpscommutatif Kparexem ple).Nous dironsquea"Kestune racinedeP"K[X]siX#adiviseP.
Autrementdit,ilexisteunp olynômeQ"K[X]telque
P(X)=(X#a)Q(X)et0$deg(Q)=deg(P)#1.
Cecisous- entendantqueleresteRdel adivisi oneuclidiennedePparX#aestnul. Bien entendu,cecinousentraîne beau coupplusloin quecequiestinscritdansleprogr ammedeterminale.Cesnotionssontgéné ralementé tudiéesdurantlesp remièresannéesd'étudespos t-
bac.Ils'ag itdegéné raliserlanotiondediv isi bilitéeuclidienne(étudiéeda nsZ)auxespaces
depo lynômes.