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Corrigé du n°1 p 28 : Dans chacun des cas suivants, écrivons le trinôme f(x) On reconnaıt la forme canonique a(x − α)2 + β, avec a = 1, α = −3 et β = −9 un trinôme du second degré de la forme ax2 + bx + c, dont la forme canonique est :
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EXERCICES 1 STD2A LES FONCTIONS Déterminer la forme canonique des polynômes du second degré suivants : Préciser la représentation graphique de chaque polynôme ; donner l'axe de symétrie de la courbe ainsi que le sommet
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Second degréPréparer son entrée en Terminale S
I. Trinôme du second degré
A. Mise sous forme canonique
Définition
On nomme fonction trinôme du second degré une fonction polynôme de degré 2, c"est à dire une fonctionP, définie
surRpouvant s"écrireP(x) =ax2+bx+c, aveca?= 0.Propriété
Pour tout trinôme du second degréP(x) =ax2+bx+c, on peut trouver deux réelsαetβtels que, pour tout réel
x, ax2+bx+c=a(x-α)2+β
Cette écriture est appeléeforme canoniquedu trinôme.B. Équation du second degré
Définition
On appelle équation du second degré à une inconnue toute équation de la formeax2+bx+c= 0, oùa,b, etcsont
trois réels eta?= 0.Résoudre une telle équation équivaut à déterminer les racines du trinôme du second degréax2+bx+c.
Définition
On appelle discriminant du trinômeax2+bx+cle nombre noté Δ défini par :Δ =b2-4ac
Théorème
SoitP(x) =ax2+bx+c, aveca?= 0, un trinôme du second degré et Δ son discriminant.Si Δ<0, alorsPn"admet aucune racineréelle(l"équationP(x) = 0 n"a donc aucune solution réelle).
Si Δ = 0, alorsPadmet une seule et unique racinex0=-b2a.Padmet alors comme factorisation :
P(x) =a(x-x0)2
Si Δ>0, alorsPadmet deux racines distinctes : x1=-b-⎷
2aetx1=-b+⎷
2aPadmet alors comme factorisation :
P(x) =a(x-x1)(x-x2)
Le cours
Préparer son entrée en Terminale SSecond degréC. Signe d"un trinôme du second degré
Théorème
SoitPle trinôme du second degré défini surRparP(x) =ax2+bx+c, oùa,b, etcsont trois réels eta?= 0. Soit
Δ son discriminant.
Si Δ<0, alorsP(x) est du signe deapour toutxdeR. Si Δ = 0, alorsP(x) est du signe deapour toutxdeRdifférent de-b 2aSi Δ>0,Padmet deux racinesx1etx2, (et l"on supposerax1< x2).P(x) est du signe deasi et seulement
six?]- ∞;x1[?]x2;+∞[. II. Représentation graphique d"un trinôme du second degréDéfinition
SoitPle trinôme du second degré défini surRparP(x) =ax2+bx+c, oùa,b, etcsont trois réels eta?= 0.
Dans le plan muni d"un repère?
O;?i,?j?
, la courbeCPreprésentative dePest uneparaboled"équation y=ax2+bx+c. Son sommetSest le point de coordonnées (α;β), oùα=-b2aetβ=P(α) =-Δ4a
Théorème
Soitfune fonction polynôme de degré 2 définie parf(x) =ax2+bx+c, de forme canoniquef(x) =a(x-α)2+β
sia >0 alors la fonctionfpossède les variations suivantes : x f(x) -∞α=-b2a+∞ sia <0 alors la fonctionfposséde les variations suivantes : x f(x) -∞α=-b2a+∞