On examine tous les nombres entiers d Pour chacun d'entre eux, on se pose les questions suivantes : Est-ce que d ⩽ n ? (sinon, ce n'est pas un diviseur de n)
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diviseur de 25 puisque le quotient de 25 par 4 n'est pas un nombre entier Par contre Énoncer la propriété qui se trouve ainsi démontrée 4 Démontrer que
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L'ALGORITHME d'EUCLIDE est une suite de divisions euclidiennes qui permettent de retrouver le PGCD de deux nombres entiers Dans cet algorithme, le PGCD
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Donc et donc Remarque : Pour savoir si un nombre n est premier ou non, la recherche de diviseurs peut s'arrêter au dernier entier
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b est un diviseur de a • a est multiple de b • a est divisible par b 2- Caractères de divisibilité Pour savoir si un entier naturel a est divisible par un entier naturel
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a) Pour trouver cette liste de diviseurs, il faut faire des divisions euclidiennes entier comme diviseur, comment passera-t-on au nombre suivant à tester ?
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Algorithme : trouver les diviseurs d"un nombrepage 1 de 1 Algorithme : trouver les diviseurs d"un nombre
On donne un nombren>0.
Que faut-il faire pour trouver tous les diviseurs dendansN? On utilise la propriété suivante : dansN, siddivisen, alorsd6n.On examine tous les nombres entiersd.
Pour chacun d"entre eux, on se pose les questions suivantes : Est-ce qued6n? (sinon, ce n"est pas un diviseur den)Est-ce queddivisen?
Donc en examinant les nombres entiers dans l"ordre à partir de 0, on pourra s"arrêter dès qu"on dépassen.I) Exemple d"exécution
Choisissons par exemplen= 6(le nombre dont on cherche les diviseurs) Le premier nombre à examiner est 1 (c"est le premier nombre entier strictement positif) Est-ce que166? Oui, donc c"est un candidat possible.Est-ce que 6 est divisible par 1? Oui. Donc on vient de trouver un diviseur : 1On passe au prochain nombre entier : 2
Est-ce que266? Oui, donc c"est un candidat possible.Est-ce que 6 est divisible par 2? Oui. Donc on vient de trouver un diviseur : 2On passe au prochain nombre entier : 3
Est-ce que366? Oui, donc c"est un candidat possible.Est-ce que 6 est divisible par 3? Oui. Donc on vient de trouver un diviseur : 3On passe au prochain nombre entier : 4
Est-ce que466? Oui, donc c"est un candidat possible.Est-ce que 6 est divisible par 4? Non.
On passe au prochain nombre entier : 5
Est-ce que566? Oui, donc c"est un candidat possible.Est-ce que 6 est divisible par 5? Non.
On passe au prochain nombre entier : 6
Est-ce que666? Oui, donc c"est un candidat possible.Est-ce que 6 est divisible par 6? Oui. Donc on vient de trouver un diviseur : 6On passe au prochain nombre entier : 7
Est-ce que766? NonDonc on s"arrête, on a trouvé tous les diviseurs de 6 :1;2;3;6II) Algorithme
Essayons de décrire l"exécution précédente de manière résumée. On constate que certaines séquences reviennent règulièrement : Lorsque le nombredqu"on examine est un diviseur de 6 : Est-ce qued66? Oui, donc c"est un candidat possible.Est-ce que 6 est divisible pard? Oui. Donc on vient de trouver un diviseur :dOn passe au prochain nombre entier :d+ 1Lorsque le nombredqu"on examine n"est pas un diviseur de 6 (tout en étant66)
Est-ce qued66? Oui, donc c"est un candidat possible.Est-ce que 6 est divisible pard? Non.
On passe au prochain nombre entier :d+ 1Dans les deux cas, la forme générale est toujours la même :
Est-ce qued66? Oui, donc c"est un candidat possible.Est-ce que 6 est divisible pard? ...
On passe au prochain nombre entier :d+ 1En résumé, la méthode consiste donc à commencer avecd= 1, puis à répéter la séquence
précédente tant qued66. On s"arrête lorsqued >6. Pour généraliser, on peut remplacer 6 parn. Dans un langage algorithmique, cela se résume par : d= 1