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Terminale S/ES/STI Mathématiques Fiche n°6 - Exponentielle et logarithme Etudes des fonctions exponentielles et logarithmes J Paquereau 1/10

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Terminale ES – Exercices sur les fonctions exponentielles – Fiche 1 - Corrigés Exercice 1 : 3 On sait que q>1 , donc la fonction exponentielle de base q est

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Terminale ES – Exercices sur les fonctions exponentielles – Fiche 1 Exercice 1 : Simplifier l'écriture du nombre 32x+2 32 x+1 ×3x Exercice 2 : QCM

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f(x):=e^x/(e^x+1) factoriser(deriver(deriver(f(x)))) Page 2 Fonctions exponentielles – Exercices – Terminale ES/L – G AURIOL, Lycée Paul Sabatier a Déterminer 

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Fiche 10 Polynômes page 12 Fiche 11 Logarithme népérien page 13 Fiche 12 Exponentielle page 14 Fiche 13 Autres fonctions exponentielles page 15

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Fonction dérivée La fonction est définie et dérivable sur R Comme > alors la fonction est strictement croissante sur R Sa dérivée est la fonction exponentielle elle-même c’est-à-dire : Si ( ) = alors ?( ) = Tableau de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle

Terminale ES – Exercices sur les fonctions exponentielles

Terminale ES – Exercices sur les fonctions exponentielles – Fiche 1 - Corrigés Exercice 1 : 32x+2 32 x+1 ×3 x=3 2 x+( 1)+ =3 2 +1 = 3 Exercice 2 : 1) Résolvons l'inéquation q 3x+11 donc la fonction exponentielle de base q est strictement croissante sur 3 Donc q x+1 et q 2x+3 sont rangés dans le même ordre que 3

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Fiche n°6 - Exponentielle et logarithme

Etudes des fonctions exponentielles et logarithmes

J. Paquereau 1/10

Cours : fiche n°6 - Exponentielle et logarithme Thème : études des fonctions exponentielles et logarithmes.

Notions abordées Page

1. Définitions : définition du logarithme népérien et de la fonction exponentielle. 1

2. Dérivation et variations : étude des fonctions logarithme népérien et exponentielle. 2

3. Propriétés : propriétés du logarithme népérien et de la fonction exponentielle. 4

5. Croissance comparée : propriétés sur les limites des fonctions logarithme népérien et

exponentielle. 7

6. Généralisation : généralisation aux logarithmes et exponentielles de base quelconque. 9

1. Définitions

étendrons ensuite ces deux fonctions à une catégorie de fonctions : les logarithmes et les exponentielles

de base quelconque.

Soit ݔאԹכ

Le logarithme népérien de ݔ réel strictement positif est donc défini Remarque ! Etant donné que la fonction inverse ଵ définie sur Թכ

En partant de cette définition, on peut

dresser la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.

Quant à la courbe représentative de la

fonction exponentielle, elle est symétrique à celle du logarithme népérien par rapport à la 1ère bissectrice.

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Preuve :

On définit la fonction exponentielle à partir du logarithme népérien. On notera bien que le logarithme

népérien est défini de Թכ

Soit ݔא

propositions suivantes :

Soit ݔאԹכା et soit ݕא

Soit ݔאԹכ

représentation. De ces définitions, on tire immédiatement les propriétés suivantes :

Preuve :

2. Dérivation et variations

2.1. Dérivation

Comme le logarithme népérien est une primitive de ଵ ௫, on dispose de la propriété suivante : La dérivée de la fonction logarithme népérien est : ׊ݔאԹכ

Par ailleurs, on a prouvé dans la fiche de cours n°5 une formule permettant de déterminer la dérivée de

défini comme étant la réciproque de la fonction ݈݊ : La dérivée de la fonction exponentielle est : ׊ݔא Preuve : on a prouvé dans la fiche de cours n°5 que ݂ିଵᇱൌଵ

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Grâce au théorème de dérivation des fonctions composées, on prouve également les résultats généraux

suivants :

2.2. Variations

Grâce aux courbes représentatives des fonctions ݈݊ et ݁ݔ݌ figurant à la page 1, on peut supposer les

propriétés suivantes :

Autrement dit : ׊ݔǡݕאԹכ

Autrement dit : ׊ݕאԹǡ׌ǨݔאԹכ

Ou encore : : ׊ݔǡݕאԹכ

N.B. : ׌

Autrement dit : ׊ݔǡݕאԹכ

Autrement dit : ׊ݕאԹכାǡ׌Ǩݔא

Ou encore : : ׊ݔǡݕאԹכ

N.B. : ׌

Ces propriétés se traduisent par le tableau de variation suivant :

Preuve :

(i) Comme ׊ݔאԹכ

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ଵା௞ൌ݈௡௞ୀ଴ Or, on montre que cette somme, alors qualifiée de série, diverge

௞ഀ௡௞ୀ଴ avec ߙ ߙ൑ͳ. On en déduit que ݈ൌ൅λב

3. Propriétés

3.1. Propriétés algébriques du logarithme népérien

Quelques propriétés à bien connaître : (i) ׊ݔǡݕאԹכ (ii) ׊ݔאԹכ (iii) ׊ݔǡݕאԹכ (iv) ׊ݔאԹכା׊݊א N.B. : cette propriété est encore vraie pour ݊א (iv) ׊ݔאԹכା׊݊א Preuve : les démonstrations (i) et (ii) sont hors programme. Les voici toutefois.

On pose ݐൌଵ

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On pose ensuite ݑൌܽ

௔ݐ et ݀ݔൌଵ ௔݀ݑ. Par changement de variable, on obtient :

Conclusion : ܲ

Etendant cette proposition au cas plus général où ݊ est un entier relatif :

Conclusion : ܲ

(iv) ׊ݔאԹכା׊݊א

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Important ! On retiendra bien que la fonction exponentielle est finalement équivalente à un

simple nombre élevé à la puissance ݔ. Dès lors, nombreuses sont les propriétés de le

fonctions exponentielles qui semblent évidente intuitivement ! En effet, nos bons vieux calculs

de collège tels que אܽ׊Թǡ׊݉ǡ݊אԺǡܽ௠ା௡ൌܽ௠ܽ

Bien entendu, il convient de justifier la notation précédente. Pour ce faire, énonçons et prouvons tout

(i) ׊ݔǡݕא (ii) ׊ݔא (iii) ׊ݔǡݕא (iv) ׊ݔאԹǡ׊݊א N.B. : cette propriété est encore vraie pour ݊אԷ, et même pour ݊א (v) ׊ݔאԹ׊݊א

Preuves : toutes ces propriétés peuvent être retrouvées assez facilement à partir des propriétés

algébriques du logarithme népérien. (i) ׊ݔǡݕא (i) ׊ݔǡݕא (iv) Une démonstration par récurrence semble tout indiquée. On peut la résumer ainsi : (iv) On pose ܺൌ݊ݔ avec ݊אԺ et ݔא

4. Equations et inéquations

On pose ܺ

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రൌെʹʹ et ܺ

Comme le coefficient devant ܺ

ସ൐Ͳ, on a ଵ

Donc אܺ

Pour tout ݔא

5. Croissance comparée

Vous connaissez sans doute bien la plupart des limites usuelles. Et vous connaissez désormais les limites

eux nous fait tomber sur une forme indéterminée !

Preuves :

(i) En observant la courbe de ௘ೣ ௫ sur la calculatrice (habitude à prendre), on peut conjecturer que ௘ೣ ௫ tend méthode classique consiste à minorer la fonction, ici ௘ೣ

théorème des gendarmes nous permet alors de conclure que notre fonction tend vers ൅λ en ൅λ.

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Le cheminement : nous serions plutôt satisfaits par exemple que pour ݔ suffisamment grand ௘ೣ

௫൐ݔ. Ce Remarque ! On retiendra bien ces petites astuces tout à fait intéressantes et surtout très pratiques : Pour le lever une indétermination (sur une limite), on peut penser à minorer la fonction par une autre (ou encore ăů'encadrer par deux autres) afin de pouvoir appliquer le théorème des gendarmes. puis minorer (ou majorer) en se servant de la stricte croissance (ou décroissance) de la essayer de bidouiller un peu. Reste à faire apparaître du ௘ೣ ௫ൌͲ, il va falloir passer par un procéder similaire à non plus falloir minorer mais encadrer et surtout majorer.

Le cheminement : nous serions plutôt satisfaits cette fois-ci que pour ݔ suffisamment grand, on ait

pose aucun problème. Nous savons que ׊ݔא

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ξ௫ pour tout ݔא

Ces propriétés permettent de prouver des propriétés plus générales : (i) ׊݉ǡ݊א ௫೙ൌ൅λ (ii) ׊݉ǡ݊א (iii) ׊݉ǡ݊א ௫೙ൌͲ (iv) ׊݉ǡ݊א Avertissement ! Les formules ci-dessus ne sont pas à retenir en terminale. Les plus

6. Généralisation

6.1. Introduction

quelconques.

Les physiciens utilisent par exemple beaucoup le logarithme de base 10. En particulier, la notion même

de décibel dont vous avez peut-être entendu parler utilise le logarithme base 10. Quant aux

informaticiens, très binaires, ils sont très friands du logarithme base 2 ! Avertissement ! Ce qui suit est hors programme de terminale S.

6.2. Exponentielle et logarithme de base quelconque

On appelle logarithme de base ܽ (avec ܽ൐Ͳ), noté ݈݋݃௔ la fonction ׊ݔא

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On remarquera que ܽ

Preuves :

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