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Fonctions homographiques Inéquations rationnelles

Fonctions homographiques Inéquations rationnelles Fiche exercices EXERCICE 1 Étudier les variations de la fonction f définie sur ]??;0[?]0; ?[ par f x =? 3 2x Dresser le tableau de variations de f Étudier les variations de la fonction g définie sur ]??;1[?]1; ?[ par g x = 1 x?1

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Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

Fiche exercices

EXERCICE 1

✔Étudier les variations de la fonction f définie sur ]-∞;0[∪]0;∞[ par fx=-3

2x

Dresser le tableau de variations de f

✔Étudier les variations de la fonction g définie sur ]-∞;1[∪]1;∞[ par gx=1

x-1

Dresser le tableau de variations de g

✔Construire les courbes représentatives de f et g dans le même repère orthogonal.

✔Résoudre graphiquement l'équation : fx=gx. Retrouver le résultat par le c

EXERCICE 2

Déterminer le signe des fonctions suivantes :

fx=3-x

5x2✔

gx=x

3x1-4✔hx=1-x

x-31 On ne demande pas de tracer les représentations graphiq

EXERCICE 3

Résoudre dans R, le système d'inéquation.

EXERCICE 4

Résoudre par le calcul les inéquations suivantes : 5-x

2x3≥0✔

1

3x2≥-2EXERCICE 5

✔Étudier les variations de la fonction f définie sur ]-∞;0[∪]0;∞[par fx=2 x

Dresser le tableau de variations de f

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

✔Étudier les variations de la fonction g définie sur ]-∞;-1[∪]-1;∞[par gx=-2

x1

Dresser le tableau de variations de g

✔Construire les courbes représentatives de f et g dans le même repère

✔Résoudre graphiquement l'équation fx=gx. Retrouver le résultat par le calcul.

EXERCICE 6

✔Étudier les variations de la fonction f définie sur ]-∞;1[∪]1;∞[par fx=-1

x-1-1

Dresser le tableau de variations de f

✔Construire dans un repère orthogonal, la courbe représentative de f

✔Construire dans le même repère la courbe représentative de la fonction affine g définie pargx=x-4✔Calculer les coordonnées des points d'intersection des deux courbes.

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

CORRECTION

EXERCICE 1

✔Étudier les variations de la fonction f définie sur ]-∞;0[∪]0;∞[ par fx=-3

2x

La valeur interdite est : 0

a et b sont deux réels non nuls. •Si 0abalors 1 a1 bdonc -3

2a-3

2bsoit

fafb f est strictement croissante sur ]0;∞[•Si ab0alors 1 a1 bdonc -3

2a-3

2bsoit

fafb f est strictement croissante sur ]-∞;0[Dresser le tableau de variations de f x-∞0 ∞Variations de f ✔Étudier les variations de la fonction g définie sur ]-∞;1[∪]1;∞[ par gx=1 x-1

La valeur interdite est : 1

a et b sont deux réels distincts de 1. •Si

1absoit 0a-1b-1alors 1

a-11 b-1 fafbf est strictement décroissante sur ]1;∞[•Si ab1soit a-1b-10alors 1 a-11 b-1 fafbf est strictement décroissante sur ]-∞;1[Dresser le tableau de variations de g x -∞1∞

Variations

de g

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

✔Construire les courbes représentatives de f et g dans le même repère orthogonal.

✔Résoudre graphiquement l'équation : fx=gx. Retrouver le résultat par le calcul.

Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de

f et g. Il y a un seul point d'intersection A d'abscisse 0,6 Donc S={0,6}Retrouvons le résultat par le calcul : fx=gx -3 2x=1 x-1Les valeurs interdites sont : 0 et 1 0=1 x-13

2x0=2x

2xx-1

0=5x-3

x-12x

5x-3=0

Fonctions homographiques

Inéquations rationnellesx=3

5=0,6Comme 0,6 n'est pas une valeur interdite donc

S={3

5}EXERCICE 2

Déterminer le signe des fonctions suivantes :

✔fx=3-x

5x2

3-x=05x2=0

3=x5x=-2

x=-2 5 -2

53La valeur interdite est :

-2 5x -∞-2 53
∞Signe de

3-x++-

Signe de

5x2-++

Signe de

fx-+- ✔gx=x

3x1-4=x-43x1

3x1=-11x-4

3x1

-11x-4=03x1=0 -11x=43x=-1 x=-4

11x=-1

3Pour pouvoir comparer -4

11 et -1

3on doit comparer-12

33et-11

33
-12

33-11

33donc-4

11-1

3

La valeur interdite est :

-1 0 0

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

x-∞-4 11-1 3 ∞Signe de -11x-4+--

Signe de

3x1--+

Signe de

gx-+- ✔hx=1-x x-31=1-x1x-3 x-3=-2 x-3 x-3=0x=3

La valeur interdite est : 3

Attention le numérateur est égale à -2, donc toujours négatif x -∞3∞Signe de -2--

Signe de

x-3-+

Signe de

hx+-

EXERCICE 3

Résoudre dans R, le système d'inéquation. x2 (1) 1

SI=S1∩S2

x2=0x=-2 x2

La valeur interdite est : -2

x22 0

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

x22x5=0 2x=-5 x=-5 2-5

2-2Fx=2x5

x2x -∞-5

2-2∞

Signe de

2x5-++

Signe de

x2--+

Signe de

Fx+-+

S1=]-∞;-5

2]∪]-2;∞[

(2)1

La valeur interdite est : -2

1

1-3x2

-3x-5 -3x-5=0 -3x=5x=-5 3 -2-5

3Gx=-3x-5

x2 x -∞-2-5

3∞

Signe de

-3x-5++-

Signe de

x2-++

Signe de

Gx-+-

00 0 00

Fonctions homographiques

Inéquations rationnellesS2=]-∞;-2[∪[-5

3;∞[

2]∪[-5

3;∞[

Interprétation graphique

Dans un repère orthogonal, on trace la courbe représentative de la fonction f définie sur ]-∞;-2[∪]2;∞[par fx=1 x2Puis on trace les droites d'équations

y=-2et y=3Les solutions de (I) sont les abscisses des points de la courbe représentative de f au dessus de de la droite

d'équation y=-2et en dessous de la droite d'équationy=3

EXERCICE 4

Résoudre par le calcul les inéquations suivantes : 5-x

2x3≥0

5-x=02x3=0

5=x2x=-3

x=-3 2-3

25

Fx=5-x

2x3La valeur interdite est :

-3 0

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

x-∞-3

25∞Signe de

5-x++-

Signe de

2x3-++

Signe de

Fx-+-

S=]-3 2;5] 1

3x2≥-21

3x22≥0

1

3x223x2

3x2≥06x5

3x2≥0

6x5=03x2=0

6x=-53x=-2x=-5

6x=-2 3 -5

6-2

3Gx=6x5

3x2La valeur interdite est : -2

3 x -∞-5 6-2

3∞Signe de

6x5-++

Signe de

3x2--+

Signe de

Fx+-+

S=]-∞;-5

6]∪]-2

3;∞[

00 0

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

EXERCICE 5

✔Étudier les variations de la fonction f définie sur ]-∞;0[∪]0;∞[par fx=2

xLa valeur interdite est 0. a et b sont deux nombres réels non nuls. •Si 0abalors 1 a1 bdonc 2 a2 bet fafb f est strictement décroissante sur ]0;∞[•Si ab0alors 1 a1 bdonc 2 a2 bet fafbf est strictement décroissante sur ]-∞;0[

Dresser le tableau de variations de f

x -∞0∞

Variations

de f

✔Étudier les variations de la fonction g définie sur ]-∞;-1[∪]-1;∞[par gx=-2

x1

La valeur interdite est -1.

a et b sont deux nombres réels distincts de -1 •Si -1absoit

0a1b1alors 1

a11 b1donc -2 a1-2 b1et fafb f est strictement croissante sur ]-1;∞[•Si ab-1soit a1b10alors 1 a11 b1donc -2 a1-2 b1et fafb f est strictement croissante sur ]-∞;-1[Dresser le tableau de variations de g x-∞-1 ∞Variations de g

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

✔Construire les courbes représentatives de f et g dans le même repère

✔Résoudre graphiquement l'équation fx=gx. Retrouver le résultat par le calcul.

Les solutions de l'équationfx=gxsont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

Il y a un point d'intersection G d'abscisse : -1

2 S={-1 2} fx=gx2 x=-2 x12 x2 x1=0 xx1=0

4x2=04x=-2

x=-2 4=-1 2-1

2n'est pas une solution interdite.

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

EXERCICE 6

✔Étudier les variations de la fonction f définie sur ]-∞;1[∪]1;∞[par fx=-1

x-1-1 la valeur interdite est : 1 a et b sont deux nombres réels distincts de 1 •Si 1absoit 0a-1b-1alors 1 a-11 b-1donc -1 a-1-1 b-1soit -1 a-1-1-1 b-1-1et fafbf est strictement croissante sur ]1;∞[•Si ab1soit a-1b-10alors 1 a-11 b-1donc -1 a-1-1 b-1soit -1 a-1-1-1 b-1-1et fafbf est strictement croissante sur ]-∞;1[Dresser le tableau de variations de g x-∞1 ∞Variations de f ✔Construire dans un repère orthogonal, la courbe représentative de f

✔Construire dans le même repère la courbe représentative de la fonction affine g définie par

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

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