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3) calculer les variations de f puis présenter son tableau de variation 4) Soit la droite d'équation y = – 2 • Calculer le signe de f(x) + 2 • En déduire sur quel
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Fonctions inverse & homographiques
I. La fonction inverse.
On appelle
soit :inv:R?-→R? x?-→1xDéfinition •La représentation graphique de la fonction inverse s"appelle une •La fonction inverse est décroissante surR?-et surR?+. x 1x1x-∞
0+∞
•La fonction inverse n"admet ni de minimum, ni de maximum surR?. •La courbe de la fonction inverse admet l"origine du re- père comme centre de symétrie. On dit que la fonction inverse est xThéorème n°1- admisRemarqueAttention, dire que la fonction inverse est décroissante surR?n"a pas de sens car sur cet intervalle la
fonction comporte une valeur interdite! Exercice n°11.Simplifier l"expression suivante :A(x) =4x-3x+ 5--9x+ 10x+ 5
2.Écrire les deux expressions suivantes sous la forme d"un et un seul quotient :
A(x) = 3x+2x
;B(x) =x+ 23x-7 + 3xx3.Démontrer que les deux expressions suivantes sont égales :
A(x) =3x-5-x+ 4;B(x) =-2 +x+ 3-x+ 4
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Exercice n°21.Comparer les nombresAetB:
a)A=12-⎷2 etB=12 .b)A=1x etB=-17 , lorsquex?-7.2.Donner un encadrement de1x
dans les deux cas suivants : a)x??12 ;109 b)-2?x <-110 Exercice n°31.Résoudre les équations suivantes : a) 1x =-14 .b)12x=⎷2.c)-1x = 3.d)-2x =352.Résoudre les inéquations suivantes :
a) 1x >25 .b)-1x ?16 .c)3x ?723.Résoudre l"inéquation double suivante :35
?1x <72 toute fonction de la formef(x) =ax+bcx+d.DéfinitionLa représentation graphique d"une fonction homographique est une hyperbole.Théorème n°2- admis
Exercice n°41.Résoudre les équations suivantes : a)4x+ 1x-1= 3.b)3 +x2 +x=65
.c)23-x=-8.2.Résoudre les inéquations suivantes :
a)2x-4x+ 6?0.b)4xx-5+ 2>0.
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Exercice n°51.Considérons la fonctionfdéfinie par :f(x) =x+ 4. a)Construire le tableau de signe, puis le tableau de variation defsurR.b)Dans un repère orthonormé d"unité le centimètre, construireFla représentation graphique de
f, sur[-10;10].2.Considérons la fonctiongdéfinie par :g(x) =2-xx+ 2.
a)Montrer que, pour toutx?R\{-2}:g(x) =4x+ 2-1. b)Construire la courbeGdegdans le repère précédent. c)En déduire le tableau de signe, puis le tableau de variation degsurR\{-2}.Le démontrer algébriquement.
3.a)Résoudre graphiquement l"équationf(x) =g(x).
b)Retrouver le résultat par le calcul. Exercice n°6Sur la figure ci-contre,ABCetAMNsont deux tri- angles isocèles enA. Les pointsA,M,Bd"une part etA,N,Cd"autre part sont alignés. De plus(MN)et
(BC)sont deux droites parallèles.On donne :
•AM=AN=x, avecx?[0;10], •NC=MB= 3etBC= 5. On se propose d"étudier les variations du péri- mètre du trapèze isocèleMBCNlorsquexvarie de0à10.MBC NA x35 x31.Exprimer en fonction dexla longueurMN.
2.Déduire de la question précédente que le périmètrep(x)du trapèzeMBCNest donné par :
p(x) =16x+ 33x+ 33.Tracer la courbe représentative de la fonctionpsur l"écran de la calculatrice. Conjecturer le sens
de variation de cette fonction sur l"intervalle[0;10].4.a)Démontrer que pour toutx?[0;10]:
p(x) = 16-15x+ 3 b)Démontrer la conjecture du 3..5.Est-il possible d"avoirp(x) = 15? Justifier.
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Exercice n°7La conception d"un écran de téléphone portable est confiée à un bureau d"étude qui a les contraintes
suivantes : •l"aire de cet écran doit être de16cm2,•l"écran, considéré théoriquement comme rectangulaire, doit être positionné dans le téléphone selon
le schéma ci-dessous :5,50,50,50,5yx On cherche les valeurs, en centimètres, dexety, pour lesquelles les dimensions du télé- phone portable répondent aux contraintes du fabriquant.1.Donner une première contrainte sur les valeurs possibles dexety.
2.Montrer quey= 6 +16x-1.
Le fabriquant de ce téléphone ajoute une dernière contrainte à ce bureau d"étude : il souhaite qu"on
aitx+y= 15.