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22 oct 2014 · 3) Calculer la fonction dérivée f′ et déterminer son signe sur l'intervalle [0;π] 4) Dresser le tableau de variation de f sur [−π;π] et tracer l'allure 

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IV Utiliser la parité et la périodicité des fonctions sinus et cosinus Exercice 14 On considère la fonction f définie sur ∡ par ( ) sin f x x x = Démontrer que f est  

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2) En particulier pour tout réel x, −1 ⩽ cos(x) ⩽ 1 et −1 ⩽ sin(x) ⩽ 1 Exercice 2 a est un réel de l'intervalle π 2 ,π dont le sinus est égal à

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Exercice 2 (1,5 point) On considère la fonction définie sur ℝpar ( ) = cos sin 2 − 2 sin Donner la forme factorisée de la dérivée ′ de sur ℝ Exercice 3 (2 points)

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Le graphe de admet des demi-tangente verticales en = −1 et en = 1 5 Exercice 5 Soit la fonction définie par ( ) = arcsin(  

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Exercice 5 Soit h:ℝ ℝ x (1+cos(x))⋅cos(x) et C sa courbe représentative 1 Rappeler les propriétés de parité et de périodicité de la fonction cosinus 2

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Calculer sin(x+y), cos(x+y) et tan(x+y) en fonction des sinus, cosinus et tangente de x ou de y ; en déduire les formules de calcul pour sin(2x), cos(2x) et tan(2x)

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= sin x( 1 + cos x) car les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodiques = f(x) Donc f est périodique de période 2π b) i) Pour tout x ∈ R, (- 

pdf Correction : Les fonctions sinus et cosinus

Correction : Les fonctions sinus et cosinus Rappels Exercice1 1) ? 5? 6 2) ? 4 3) ? 2? 3 4) ? ? 6 5) ? ? 3 6) ? 4 7) ? 3? 4 8) ? ? 3 9) ? ? 6 Exercice2 1) sin x = ? 1 2 ? sin x = sin ? ? 6 ? x = ? ? 6 +k2? x = ? 5? 6 +k2? k ? Z b ?? ? b6 5? 2) cos x = ? ? 3 2 ? cos x = cos 5? 6

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CORRECTION DM8

EXERCICE 1

: Etude d"une fonction trigonométrique f est la fonction définie sur

R par : f(x) = sin x (1 + cosx)

1) a) i) Pour tout x

? R, (x + 2p) ? R ii) Pour tout x ? R, f(x + 2p) = sin(x + 2p)(1 +cos(x + 2p) = sin x( 1 + cos x) car les fonctions sinus et cosinus sont 2p périodiques. = f(x)

Donc f est périodique de période 2pppp.

b) i) Pour tout x ? R, (-x) ? R ii) Pour tout x ? R, f(-x ) = sin(-x )(1 +cos(-x) = - sin x( 1 + cos x) car la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire. = - f(x)

Donc f est impaire.

c) f est périodique de période 2p donc on peut restreindre son étude à un intervalle de longueur 2p comme

[0 ; 2 p] ou [- p ; p ] de plus f est une fonction impaire donc on peut l"étudier sur [0 ; + d[. Sa courbe admet pour centre de symétrie, l"origine O du repère.

Finalement on peut étudier f sur I = [0 ; p].

2) a) f est dérivable

R comme produit de fonctions dérivables sur R .

Ainsi f est dérivable sur I = [0 ; p]

Pour tout x de I, f "(x) = cosx(1 + cosx) + sinx(- sinx) = cosx + cos²x - sin²x = cosx + cos² x - (1 - cos²x) = 2cos²x + cosx - 1

D"autre part, 2( cosx -

1 2 )(cosx + 1) = (2 cosx - 1)(cos x + 1) = 2cos²x + 2cosx - cos x - 1= 2cos²x + cos x - 1

Ainsi pour tout x de I, f "(x) = 2( cosx - 1

2 )(cosx + 1) b) A l"aide du cercle trigonométrique ,

Sur I, signe de cos x -

1

2 : cos x - 1

2 = 0 ? cos x = 1 2 donc pour x = p 3 cos x - 1 2 > 0 pour x ? [0 ; p

3 [ et cos x - 1

2 < 0 pour x ? ]p

3 ; p]

signe de cos x + 1 : cos x + 1 = 0 lorsque cos x = - 1 donc pour x = p cos x + 1 > 0 quand cos x > -1 donc pour x ? [0 ; p [ et cos x + 1 < 0 n"a pas de solution sur I

D"où le tableau de signe de f "(x) :

On a donc sur I,

f "(x) = 0 ? x = p

3 ou x = p

f "(x) > 0 ? x ? [0 ; p

3 [ donc f est strictement croissante sur [0 ; p

3 ] f "(x) < 0 ? x ?] p

3 ; p [ donc f est strictement décroissante sur [ p

3 ; p ] x

0 p

3 p cos x - 1 2 + 0 - cos x + 1 + + 0 f "(x) + 0 - 0

D"où le tableau de variations de f sur I :

f(0) = sin(0)(1 + cos (0)) = 0 f( p 3 ) = sin ( p

3 )(1 + cos p

3 ) = 3

2 ( 1 + 1

2 ) = 3 3 4 f( p) = sin ( p) ( 1 + cos (p))= 0

3) Tableau de valeurs :

Représentation graphique de f sur [-2 p ; 2 p]

Cf -2p-ppp/32p -p/3

10p/3-10p/30p/6

1 xy x

0 p/3 p

f 3 3 4

0 0

x 0 p 6 p 4 p 3 p 2 2p 3 3p 4 5p 6 p f(x) 0 0,93 1,21 1,3 1 0,43 0,21 0,07 0 EXERCICE 2: Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes

1) Comme OABC est un carré direct,

OC = OA et (

OA ,

OC ) = p

2 [ 2 p]

Or, A a pour coordonnées polaires

2;3 p( )( )( ) donc,

OC = 2 et

i ,

OC ) = (

i ,

OA) + (

OA,

OC) [2 p ]

p 3 + p

2 [2 p] = 5 p

6 [ 2 p] d"où,

C a pour coordonnées polaires C( 2 , 5 pppp

6). A partir des coordonnées polaires de C on a ses coordonnées cartésiennes : xquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6