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Comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même 

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z est un complexe non nul d'image ponctuelle notée M On appelle argument de z toute mesure en radian de l'angle orienté (− → u , −−

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toute mesure de l'angle , arg( ) = , à 2π près Remarque : Le module d'un nombre complexe est une distance : c'est donc un nombre réel positif

[PDF] Chapitre II Nombres complexes et trigonométrie Table des mati`eres

10 Formes trigonométriques et arguments d'un nombre complexe non nul Définition (partie réelle, partie imaginaire, module d'un nombre complexe) : Soit z  

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III Écriture trigonométrique d'un nombre complexe Exercice 11 1 Mettre sous forme trigonométrique les nombres suivants : z1 =3+3i, z2 = −1 − √ 3i, z3 = −

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2 sept 2015 · Trigonométrie et nombres complexes Exercice : (Exemple d'application) En utilisant la formule cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) et les

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Un peu d'histoire : le nombre i a longtemps été noté –1 pour la raison évidente que Si deux nombres complexes z et z' sont écrits sous forme trigonométrique :

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L'unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe est utilisée tout point du cercle trigonométrique a des coordonnées de la forme (cosθ, sinθ), donc un 

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Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul l'écriture = (cos + sin ), avec = ( ) 

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I Trigonométrie

Déterminer les valeurs exactes decos¼

12 ?sin¼ 12 ??tan¼ 12 2.

En déduire les valeurs exactes decos5¼

12 ?sin5¼ 12 ?tan5¼ 12 ?cos7¼ 12 ?sin7¼ 12 ??tan7¼ 12

Démontrer que pour tout réelx?cosx+ sinx=p

2sin(x+')? ??'??? ??

2. a) cos¡3x¡¼ 4

¢= sin¼

4 b) sin¡2x¡¼ 4

¢= cos¡x+¼

6

¢c) tan¡3x¡¼

5

¢= tan¡x+4¼

5 a) cosx¡sinx= 1b) cos2x¡p

3sin2x=¡p

2 c) (p

3 + 1)cosx+ (p

3¡1)sinx+p

3¡1 = 0

a) cos22x¡cos2x b) sin22x¡sin2x 2 1/6 a)z=¡3 4

¡2i¢¡4

3 ¡i 2

¢b)z= (3¡2i)2c)z=1

2 + 3i

d)z=1¡i

1 +ie)z=(¡3 + 4i)(5¡4i)

15¡10if)z= (2 +i)3+ (1¡2i)3

1 +eix(x2Rn f¼+ 2k¼; k2Zg)

??????? ???8z2C;z6= 1? ?? ? ?jzj= 1 =)i1 +z

1¡z2R?

????(a;b)2C2??? ???jaj=jbj= 1??a6=b? ??????? ??? ?

8z2C;z+ab¹z¡(a+b)

a¡b2iR Mettre sous forme trigonométrique les nombres suivants : z

1= 3 + 3i; z2=¡1¡p

3i; z3=¡4

3 i; z4=¡2

CalculerZ1=¡1¡p

3i

3 + 3i??Z2=¡1 +ip

3 2 2000?
?? ????z1= 1 +i??z2=p 3 +i

Donner la forme trigonométrique dez1;z2??z1

z 2? 2.

Déterminer la forme algébrique de

z1 z 2? 3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte decos¼ 12 ? ???? ??sin¼ 12

Écrire sous forme polaire :

a) 1 +i b) 1¡i c)i¡1d)p 3 +i

En déduire les calculs de :

a)(1¡i)5 (1+i)4b) (1 +i)44c)³ ¡4 p

3+i´

19 1. jzj+jz0j6jz+z0j+jz¡z0j j1¡¹ab¯

¯¯¯= 1:

z a) sin3xcos3x b) cosxcos2(2x)cos3(3x)

Factorisereip+eiq??eip¡eiq?

2.

En déduire :

(a) (b) a) cosp¡cosq b) sinp+ sinq c) cosp+ sinq ??z2C;z6= 1;1 +z+z2+¢¢¢+zn=1¡zn+1

1¡z

????µ2R? ?? ????? ? ½Sn= 1 + cosµ+ cos2µ+¢¢¢+ cosnµ S

0n= sinµ+ sin2µ+¢¢¢+ sinnµ

a) 3 + 4i b) 7¡24i c)¡15 + 8i d) 9 + 40i a)z2¡(5¡14i)z¡2(5i+ 12) = 0b)z2¡(3 + 4i)z¡1 + 5i= 0 a) (2 +i)z2¡(5¡i)z+ 2¡2i= 0b)z4¡(3 + 8i)z2¡16 + 12i= 0 ????z2Cn f2ig? ?? ???? ? f(z) =2z¡i z¡2i

Résoudre l'équationz2=i?z2C?

2.

Résoudre l'équationf(z) =z?z2Cn f2ig?

imes?? ??????? 2

1¡i??z8=1+i

p a) (z¡i)4= 1b) (z¡1)4= (z+ 1)4

3¡2)z4¡8(1 +ip

3) = 0?

a)zn= (z+ 1)nb) (1 +iz)2n= (1¡iz)2n ??(C;¡2)? 1. 2. Déterminer les axes des pointsC??D???? ???ABCD???? ?? ????? ??????? a)¯¯z¡3 z¡5¯¯= 1b)¯¯z¡3 z¡5¯¯=p 2 2 z7!z¡2 z+i Déterminer le lieu des pointsM??????z???? ???jf(z)j= 1? 2. Déterminer le lieu des pointsM??????z???? ???f(z)2R? 3. Déterminer le lieu des pointsM??????z???? ???f(z)2iR? z

3+ (1 +i)z2+ (4¡i)z+ 12¡6i= 0

Démontrer que les solutions sont les axes des sommets d'un triangle rectangle isocèle. 1. 2. 3.

M(z);N¡1

z 1. 2. 5/6 a)ez= 1b)ez=¡1c)ez= 1 +i d)ez+e¡z= 2e)ez¡2e¡z+ 2 = 0quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23